树和二叉树的概念

Posted 2021-09-16 捕获一只小肚皮

文章目录

• 前言
• 树的概念
• 树的表示
• 树结构在实际中的运用
• 二叉树的概念
• 特殊的二叉树
• • 满二叉树
  • 完全二叉树
  • 二叉树性质
• 二叉树的存储结构
• • 顺序存储
  • 链式存储
• 熟悉树结构的习题练习

前言

陆陆续续的,我们已经学完了顺序表,链表,栈和队列等线性的数据结构,而今天博主要介绍的就是树形的数据结构,和线性数据结构一样,我们先介绍什么是树形结构以及树的特点

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树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因
为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的

如下图所示:

下面是介绍树的一些常用术语概念,博主先上一张图,方便大家区分各个术语

• 根结点:没有双亲节点的结点,比如结点A.

• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如B是A的孩子节点

• 双亲结点若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点,如A是B的父节点

• 节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如A的度为6

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• 叶节点或终端节点度为0的节点称为叶节点, 如B、C、H、I等节点为叶节点

• 非终端节点或分支节点度不为0的节点； 如D、E、F、G等节点为分支节点

• 兄弟节点具有相同双亲节点的节点互称为兄弟节点； 如I,J是兄弟结点,K,L,M是兄弟结点,H,I不是兄弟结点

• 树的度一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如树的度为6(因为A的度是所有结点中度最大的,结果为6)

• 节点的层次从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

• 树的高度或深度树中节点的最大层次； 如上面的树的高度为4(即具有四层)

• 节点的祖先从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

• 子孙以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

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树的表示

前面简单介绍了树的概念,但是树毕竟是逻辑结构,我们想要实现它,该怎么做呢?最常用的是借助链表,用孩子兄弟表示法进行演绎树结构.如下图:

结点的代码构建如下:

typedef int DataType;

typedef struct node 
{
    struct node* child;       //指向左孩子结点
    struct node* brother;     //挨个指向兄弟结点
    DataType data;            //存储当前结点数据
}node;

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树结构在实际中的运用

树结构在实际生活中运用最多的就是文件结构,如下示意图:

二叉树的概念

符合树的概念,但特点是树的度最大只能为2,也就是说每个结点的子节点最多只能有两个.

二叉树特点:

• 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
• 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

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特殊的二叉树

满二叉树

**概念:**每一层的结点都达到最大值,且第n层的结点数量符合公式2^(n-1),层数是从1开始数

完全二叉树

概念: 对于层数(n>=2)的树,其n-1层符合满二叉树,第n层结点数量必须从左向右都符合222...1特性,即有且只有1个单结点,位置处于末尾,该单结点一定是左孩子结点.

二叉树性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第n层上最多有2^(n-1) 个结点.

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1(该公式由等比数列求和得到).

3. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度h=Log₂(n+1)

4. 任意一颗二叉树,假设度为0的结点数量为n0,度为2的结点数量为n1,则满足 n0= n1+1;

二叉树的存储结构

顺序存储

即用数组进行存储,在逻辑结构上是二叉树,在物理结构上是一个数组,用数组的下标进行表示每个结点,从0开始,如下图:

顺序存储的特点:

• 只适用二叉树,因为二叉树要求即使空结点也存储,所以空间不会浪费,但是其他树结构就会造成严重空间浪费
• 顺序存储二叉树一般适用于堆排序

链式存储

链式存储有两种:

• 二叉链:拥有三个域,分别是左右指针域和数据域,左右指针域分别指向左孩子和右孩子
• 三叉链:拥有四个域,分别是左右指针域以及双亲域和数据域,左右指针域同上,双亲域指向双亲节点.

示意图如下:

二叉链结点构建代码:

typedef int DataType;

typedef struct node
{
    struct node* leftchild;
    struct node* rightchild;
    Datatype data;
};

三叉链结点构建代码:

typedef int DataType;

typedef struct node
{
    struct node* leftchild;
    struct node* rightchild;
    Datatype data;
};

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熟悉树结构的习题练习

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ ）
A 非完全二叉树
B 堆
C 队列
D 栈
3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12
5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386

答案:

1. B,原因二叉树中 叶子结点数量 = 度为2结点数量 + 1
2. C,因为顺序结构的优点是 尾删尾插方便,但是队列用的更多的是 头插头删
3. A,一颗满二叉树的结点数量是2n-1,现在所有结点是2n,相当于在满二叉树后增加了一个结点.所以为n
4. B,2^9的结果是512,是一个满二叉树,531比512多19个结点,所以高度是10.
5. B,根据child与parent关系,child = parent*2+1(从0开始索引),当parent等于383时候,child = 767,即超出了界限,也就是说从索引383开始已经没有子节点了.那么767-383 = 384