56. 合并区间

Posted 2021-09-15 炫云云

56. 合并区间

以数组 intervals 表示若干个区间的集合，其中单个区间为 intervals[i] = [starti, endi] 。请你合并所有重叠的区间，并返回一个不重叠的区间数组，该数组需恰好覆盖输入中的所有区间。

示例 1：

输入：intervals = [[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]
输出：[[1,6],[8,10],[15,18]]
解释：区间 [1,3] 和 [2,6] 重叠, 将它们合并为 [1,6].

示例 2：

输入：intervals = [[1,4],[4,5]]
输出：[[1,5]]
解释：区间 [1,4] 和 [4,5] 可被视为重叠区间。

排序

如果我们按照区间的左端点排序，那么在排完序的列表中，可以合并的区间一定是连续的。如下图所示，标记为蓝色、黄色和绿色的区间分别可以合并成一个大区间，它们在排完序的列表中是连续的：

我们用数组 merged 存储最终的答案。

首先，我们将列表中的区间按照左端点升序排序。然后我们将第一个区间加入 merged 数组中，并按顺序依次考虑之后的每个区间：

如果当前区间的左端点在数组 merged 中最后一个区间的右端点之后，那么它们不会重合，我们可以直接将这个区间加入数组 merged 的末尾；

否则，它们重合，我们需要用当前区间的右端点更新数组 merged 中最后一个区间的右端点，将其置为二者的较大值。

正确性证明

上述算法的正确性可以用反证法来证明：在排完序后的数组中，两个本应合并的区间没能被合并，那么说明存在这样的三元组 $(i,j,k)$以及数组中的三个区间 $a[i],a[j],a[k]$ 满足 $i<j<k$ 并且 $(a[i],a[k])$ 可以合并，但 $(a[i],a[j])$ 和 $(a[j],a[k])$ 不能合并。这说明它们满足下面的不等式：

$$\begin{gathered} a[i].end<a[j].start(a[i]\text{ 和 }a[j]\text{ 不能合并}) \\ a[j].end<a[k].start(a[j]\text{ 和 }a[k]\text{ 不能合并}) \\ a[i].end\ge a[k].start(a[i]\text{ 和 }a[k]\text{ 可以合并}) \end{gathered}$$

我们联立这些不等式（注意还有一个显然的不等式 $a[j].start\le a[j].end$），可以得到：
$$a[i].end<a[j].start\le a[j].end<a[k].start$$

产生了矛盾！这说明假设是不成立的。因此，所有能够合并的区间都必然是连续的。

class Solution(object):
    def merge(self, intervals):
        """
        :type intervals: List[List[int]]
        :rtype: List[List[int]]
        """
        intervals.sort(key = lambda x:x[0])
        merged = []
        for interval in intervals:
            # 如果列表为空，或者当前区间与上一区间不重合，即a[i].end < a[j].start  直接添加
            if not merged or merged[-1][1] < interval[0]:
                merged.append(interval)
            else:
                # 否则的话，我们就可以与上一区间进行合并
                merged[-1][1] = max(merged[-1][1] , interval[1])
        return merged

参考

Krahets - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)