5. 最长回文子串

Posted 2021-09-15 炫云云

5. 最长回文子串

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。

示例 1：

输入：s = "babad"
输出："bab"
解释："aba" 同样是符合题意的答案。

示例 2：

输入：s = "cbbd"
输出："bb"

动态规划

对于一个子串而言，如果它是回文串，并且长度大于 2 , 那么将它首尾的两个字母去除之后，它仍 然是个回文串。例如对于字符串 “ababa”, 如果我们已经知道 “bab" 是回文串，那么 "ababa"一定 是回文串， 这是因为它的首尾两个字母都是 “a”。

第 1 步：定义状态

根据这样的思路，我们就可以用动态规划的方法解决本题。我们用 $dP(i,j)$​ 表示字符串 $s$​ 的第 $i$​ 到 $j$​ 个字母组成的串 (下文表示成 $s[i:j])$​​ 是否为回文串:
$$dP(i,j)=\{\begin{array}{ll}\text{ true, }& \text{ 如果子串 }{S}_i\dots S_j\text{ 是回文串 }\\ \text{ false, }& \text{ 其它情况 }\end{array}$$
这里的「其它情况」包含两种可能性：

• $s[i,j]$ 本身不是一个回文串;
• $i>j$, 此时 $s[i,j]$​ 本身不合法。

第 2 步：思考状态转移方程

那么我们就可以写出动态规划的状态转移方程:
$$dP(i,j)=dP(i+1,j-1)and\left(S_i==S_j\right)$$
也就是说，只有 $s[i+1:j-1]$ 是回文串，并且 $s$ 的第 $i$ 和 $j$ 个字母相同时, $s[i:j]$​ 才会是回文串。

说明：

• 「动态规划」的「自底向上」求解问题的思路，很多时候是在填写一张二维表格。由于 s[i..j] 表示 s 的一个子串，因此 i 和 j 的关系是 i <= j，只需要填这张表格对角线以上的部分；
• 看到 dp[i + 1][j - 1] 就需要考虑特殊情况：如果去掉 s[i..j] 头尾两个字符子串 s[i + 1..j - 1] 的长度严格小于 2（不构成区间），即 $j-1-(i+1)+1<2$ 时，整理得 $j-i<3$， 此时 s[i..j] 是否是回文只取决于 s[i] 与 s[j] 是否相等。

第 3 步：考虑输出

上文的所有讨论是建立在子串长度大于 2 的前提之上的，我们还需要考虑动态规划中的边界条件, 即子串的长度为 1 或 2 。

• 对于长度为 1 的子串，它显然是个回文串;
• 对于长度为 2 的子串，只要它 的两个字母相同，它就是一个回文串。

根据这个思路，我们就可以完成动态规划了，最终的答案即为所有 $dP(i,j)=$​ true 中 $j-i+1$​ (即子 串长度) 的最大值。注意：在状态转移方程中，我们是从长度较短的字符串向长度较长的字符串进 行转移的，因此一定要注意动态规划的循环顺序。

class Solution:
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        n = len(s)
        if n < 2:
            return s
        
        max_len = 1
        begin = 0
        # dp[i][j] 表示 s[i..j] 是否是回文串
        dp = [[False] * n for _ in range(n)]
        for i in range(n):
            dp[i][i] = True
        
        # 递推开始 
        # 注意：先填左下角.填表规则：先一列一列的填写
        # 枚举右边界
        for j in range(n):
            # 确定左边界
            for i in range(j+1):
                if s[i] != s[j]:
                    dp[i][j] = False 
                else:
                    if j - i < 3:  #相等的情况下
                        dp[i][j] = True #考虑头尾去掉以后没有字符剩余，或者剩下一个字符的时候，肯定是回文串
                    else:
                        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1]

                # 只要 dp[i][L] == true 成立，就表示子串 s[i..L] 是回文，此时记录回文长度和起始位置
                if dp[i][j] and j - i + 1 > max_len:
                    max_len = j - i + 1
                    begin = i
        return s[begin:begin + max_len]

class Solution:
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        n = len(s)
        dp = [[0] * n for _ in range(n)]
        res = ""
        for i in range(n):
            for j in range(i + 1):
                if s[i] == s[j] and (i - j  < 3 or dp[j+1][i-1]):
                    dp[j][i] = 1
                    res = max(res, s[j:i+1], key=len)   
        return res

参考

Krahets - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)