浮点型在内存中的存储(建议收藏食用)

Posted 2021-09-15 哆啦A梦_PJYA

文章目录

• 浮点型在内存中的存储
• • 概念📚
  • 存🎯
  • 取🎈
  • 栗子🌰

浮点型在内存中的存储

概念📚

整数型表示大小范围可在<limits.h>头文件中查看

浮点型表示大小范围可在<float.h>头文件中查看

根据国际标准IEEE（电气和电子工程协会） 754，任意一个二进制浮点数$V$​可以表示成下面的形式：

$$(-1{)}^S\times M\times 2^E$$

1. $(-1{)}^S$​​​​表示符号位，当$S=0$，$V$为正数；当$S=1$，$V$​为负数。
2. $M$​​​表示有效数字，大于等于1，小于2。（$1⩽M<2$​​）
3. $2^E$​​​表示指数位。

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举栗子🌰

🌰1: 十进制的5.5转换为二进制

• 5.5转换为二进制为：101.1

1. 小数点前的5转换为二进制为：101（$2^2+2^0=5$）
2. 小数点后的5转换为二进制为：1（$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=0.5$）
3. 改为二进制的科学计数法形式：$1.011\times 2^2$
4. 改为IEEE 754标准公式形式：$(-1{)}^0\times 1.011\times 2^2$
   $$S=0;M=1.011;E=2$$

🌰2: 十进制的9.0转换为二进制

• 9.0转换为二进制为：1001.0

1. 改为二进制的科学计数法形式：$1.001\times 2^3$
2. 改为IEEE 754标准公式形式：$(-1{)}^0\times 1.001\times 2^3$
   $$S=0;M=1.001;E=3$$

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IEEE 754规定👮‍♂️： 对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。

单精度浮点数存储模型

IEEE 754规定👮‍♀️： 对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。

双精度浮点数存储模型

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存🎯

IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定👮‍♂️：前面说过，$1⩽M<2$​ ，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小数部分。

有效数字M📌：在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存小数点的后面部分（xxxxxx部分）。例如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。

指数E📌：E为一个无符号整数（unsigned int）这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0~255；如果E为11位，它的取值范围为0~2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，存入内存时E的真实值必须再加上一个中间数，对于8位的指数位E，这个中间数是127；对于11位的指数位E，这个中间数是1023。比如，$2^{10}$​的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001（$2^7+2^3+2^0=137$）。

举栗子🌰

float f = 5.5f;

1. 转化为二进制：101.1（转换为二进制的过程）
2. 改为科学计数法：$1.011\times 2^2$​​
3. 改为IEEE 754标准公式形式：$(-1{)}^0\times 1.011\times 2^2$
4. $S=0;M=1.011;E=2$
5. 32位单精度浮点型E的存储：$E+127=129$

• $S=0$ 对应二进制位：0
• $E=129$​ 对应二进制位：10000001（$2^7=128$​）
• $M=1.011$​​​（存储的仅是011）对应的二进制位：011 0000000000 0000000000（后面补0）

如果想在编译器中查看内存，我们可以将这段二进制序列转化为十六进制方便查看对比：
01000000101100000000000000000000

取🎈

指数E从内存中取出将会分为三种情况👮‍♀️：

1. E不全为0或不全为1

这时，浮点数就采用下面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。

例如下面这一个二进制序列：

$E=126-127=-1$

$M=0$​

转化为科学计数法：$0.0\times 2^{-1}$

转化为二进制则为：0.1（则图示二进制序列的值为0.5）

2. E全为0

这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023）即为真实值， 有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示$\pm 0$，以及接近于0的很小的数字。

E在二进制序列中表示的值是加上127之后的值，如果E是全0的话，那么E在没有存储之前的值就应该是-127。E是指数位，想象一下$2^{-127}=\frac{1}{2^{127}}$​​​​是一个多么小的数字鸭？​在不考虑符号位S的情况下，几乎是无穷接近$\pm 0$​​的非常小的数字。故做出此特殊规定。

3. E全为1

这时，如果有效数字M全为0，表示$\pm$​无穷大。

E在二进制序列中表示的值是加上127之后的值，如果E是全1的话，单精度的8个bit位的E在没有存储之前的值应该是128。E是指数位，想象一下$2^{128}$​是一个多么大的数字？在不考虑符号位S的情况下，几乎是正负无穷大的一个数字。

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栗子🌰

下面我们看一道浮点数存储的栗子：

int main()
{
    int n = 9;
    
    float *pFloat = (float *)&n;
    printf("n的值为：%d\\n",n);
    printf("*pFloat的值为：%f\\n",*pFloat);
    
    *pFloat = 9.0;
    printf("num的值为：%d\\n",n);
    printf("*pFloat的值为：%f\\n",*pFloat);
    
    return 0;
} 

✏int n = 9;因为9是一个正数，原反补相同，故补码为：00000000 00000000 00000000 00001001

按浮点数的存储方式来拆分：

惊奇的发现E为全0？那么就应该按E为全0时的规定办事。

$E=1-127=-126$

$M=0.00000000000000000001001$

$S=0$

转换为科学计数法：$0.00000000000000000001001\times 2^{-126}$​

显然是一个无穷小的数字，而%f默认打印的是小数点后六位的数字，故打印出来是

以上是关于浮点型在内存中的存储(建议收藏食用)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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