2021 CCPC网络赛 HDU .7111 Remove(单调队列dp)

Posted 2021-09-14 issue是fw

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给定一个素数集合$P$,若一堆石子有$n$个

你每次可以选择素数集合中的一个$p$令$n=n-n\%p$

最后你要让$n$变为$0$,或者无解,我们定义$f(i)$表示把一堆石子$i$变为零的最小操作次数

求$(\sum _{n=1}^{N}f(n)\ast 23333^{N-n})\%2^{64}$

特别的,如果$n$无解令$f(n)=0$

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一、

令$mx$表示素数集合$P$中最大的素数

若$mx>n$那么用$mx$操作一次$n$就变成$0$

否则,我们需要让$n$操作尽量少的步骤使得小于$mx$,再用$mx$操作一次变为$0$

那么可以暴力枚举每个素数$p$转移$f[i]$

设当前使用素数$p$操作,$n$变为$n_1=n-n\%p$

f [ n ] = max ⁡ { f [ n 1 ] + 1 } f[n]=\\max\\{f[n_1]+1\\} f[n]=max{f[n1​]+1}

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二、

然而枚举$p$的复杂度太高,注意到$n_1$为$p$的倍数

若存在$i\%p==0$,可以用$f[i]+1$去更新$j\in [i+1,i+p-1]$的所有$f[j]$

而且发现$f[i]+1$固定和$p$无关

于是我们从素数集合$P$中找到最大的$p$满足$i\%p==0$

这样可更新的区间范围覆盖了选择其他素数的更新范围,只需要更新一次

区间更新可以用线段树,但是仍然太慢

我们注意到根据上面的转移,$f$数组是非递减的,于是可以用一个单调队列优化掉

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ULL unsigned long long
const int maxn = 2e6+10; 
int n,P,top,vis[maxn],sta[maxn],tim[maxn],p[maxn],ok[maxn],f[maxn],prime[maxn],mi[maxn],mxzhi[maxn];
vector<int>vec[maxn];
ULL base[maxn];
void init()
{
	int sum = 0;
	base[0] = 1; base[1] = 23333;
	for(int i=2;i<=2000000;i++)
	{
		base[i] = base[i-1]*23333;
		if( !vis[i] )	prime[++top] = i, mi[i] = i;
		for(int j=1;j<=top && prime[j]*i<=2000000; j++)
		{
			vis[prime[j]*i] = 1; mi[prime[j]*i] = prime[j];
			if( i%prime[j]==0 )	break;
		}
	}
}
int main()
{
	init();
	int t; cin >> t;
	while( t-- )
	{
		scanf("%d%d",&n,&P);
		int mxp = 0;
		for(int i=1;i<=P;i++)
			scanf("%d",&p[i] ), ok[p[i]] = 1, mxp = max( mxp,p[i] );
		int head = 1, tail = 0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			if( i==1 )	mxzhi[i] = -1;
			else	mxzhi[i] = mxzhi[ i/mi[i] ];
			if( ok[ mi[i] ] )	mxzhi[i] = max( mxzhi[i],mi[i] );
			f[i] = 0;
			while( head<=tail && tim[head]<i )	head++;
			if( head<=tail )	f[i] = sta[head]; 
			if( i<mxp )	f[i] = 1;
			if( f[i]!=0 && mxzhi[i]!=-1 )//使用f[i]+1更新[i+1,i+mxzhi-1]
				sta[++tail] = f[i]+1, tim[tail] = i+mxzhi[i]-1;
		}
		ULL ans = 0;
		for(int i=1;i<=n;i++)	ans += base[n-i]*f[i];
		cout << ans << endl;
		for(int i=1;i<=P;i++)	ok[p[i]] = 0;
	}
}