国赛助力：第三类边界条件热传导方程及基于三对角矩阵的数值计算MATLAB实现（2020A）
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了国赛助力：第三类边界条件热传导方程及基于三对角矩阵的数值计算MATLAB实现（2020A）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
1第三类边界条件的热传导方程
1.1 热传导方程
热传导在一维的各向同性介质里的传播可用以下方程表达：
∂
u
∂
t
=
a
∂
2
u
∂
x
2
(1)
\\frac{\\partial u}{\\partial t}=a \\frac{\\partial^{2} u}{\\partial x^{2}} \\tag{1}
∂t∂u=a∂x2∂2u(1)
其中，
u
=
u
(
x
,
t
)
u=u(x,t)
u=u(x,t)，
a
=
λ
c
ρ
a=\\frac{\\lambda}{c\\rho}
a=cρλ，
λ
\\lambda
λ表示介质的热传导率，
c
c
c表示介质的比热，
ρ
\\rho
ρ表示介质的密度。
.
1.2 第三类边界条件
考察介质放在另一种介质中的情形。外界介质的温度
U
U
U与所考察介质表面上的温度
u
u
u往往并不相同，考虑流过所考察介质表面的热量，从所考察内部介质来看它应由
F
o
u
r
i
e
r
Fourier
Fourier定律确定，即：
d
Q
=
−
λ
∂
u
∂
n
d
S
d
t
(2)
d Q=-\\lambda \\frac{\\partial u}{\\partial n} d S d t \\tag{2}
dQ=−λ∂n∂udSdt(2)
其中
∂
u
∂
n
\\frac{\\partial u}{\\partial n}
∂n∂u表示
u
u
u沿边界
S
S
S上的单位外法线方向
n
n
n的方向导数。从外部方面来看则应由牛顿冷却定律决定，即：
d
Q
=
h
(
u
−
U
)
d
S
d
t
(3)
d Q=h\\left(u-U\\right) d S d t \\tag{3}
dQ=h(u−U)dSdt(3)
结合
(
2
)
(
3
)
(2)(3)
(2)(3)得到第三类边界条件：
−
λ
∂
u
∂
n
=
h
(
u
−
U
)
(4)
-\\lambda \\frac{\\partial u}{\\partial n}=h\\left(u-U\\right) \\tag{4}
−λ∂n∂u=h(u−U)(4)
2网格剖分
2.1 对符号更细致的说明
如下图所示，以焊接区域中心的上侧与炉内空气接触处为原点，指向电路板内部为正方向建立
x
x
x轴，热量沿
x
x
x轴方向传递。
由于接触面环境温度
U
U
U是与时间
t
t
t和物件速度
v
v
v有关，则实际接触面环境温度写作
U
(
v
,
t
)
U(v,t)
U(v,t)较为合适，其中
v
t
vt
vt为物件横向移动距离：
因此我们可以将第一部分热传导方程进行如下整理：
.
2.2 方程整理
内部（热传导）：
∂
u
(
x
,
t
)
∂
t
=
a
∂
2
u
(
x
,
t
)
∂
x
2
\\frac{\\partial u(x, t)}{\\partial t}=a \\frac{\\partial^{2} u(x, t)}{\\partial x^{2}}
∂t∂u(x,t)=a∂x2∂2u(x,t)
上下两边界（第三边界条件）：
−
λ
∂
u
(
x
,
t
)
∂
t
∣
x
=
0
+
h
u
(
x
,
t
)
∣
x
=
0
=
h
U
(
v
,
t
)
λ
∂
u
(
x
,
t
)
∂
t
∣
x
=
d
+
h
u
(
x
,
t
)
∣
x
=
d
=
h
U
(
v
,
t
)
\\begin{aligned} &-\\left.\\lambda \\frac{\\partial u(x, t)}{\\partial t}\\right|_{x=0}+\\left.h u(x, t)\\right|_{x=0}=h U(v, t) \\\\ &\\left.\\quad\\lambda \\frac{\\partial u(x, t)}{\\partial t}\\right|_{x=d}+\\left.h u(x, t)\\right|_{x=d}=h U(v, t) \\end{aligned}
−λ∂t∂u(x,t)∣∣∣∣x=0+hu(x,t)∣x=0=hU(v,t)λ∂t∂u(x,t)∣∣∣∣x=d+hu(x,t)∣x=d=hU(v,t)
初值条件：
在
t
=
0
t=0
t=0时，我们认为电路板温度与生产车间的温度
T
0
T_0
T0保持一致，故初值条件为：
u
(
x
,
0
)
=
T
0
u(x,0)=T_0
u(x,0)=T0
整理：
{
∂
u
(
x
,
t
)
∂
t
=
a
∂
2
u
(
x
,
t
)
∂
x
2
−
λ
∂
u
(
x
,
t
)
∂
t
∣
x
=
0
+
h
u
(
x
,
t
)
∣
x
=
0
=
h
U
(
v
,
t
)
λ
∂
u
(
x
,
t
)
∂
t
∣
x
=
d
+
h
u
(
x
,
t
)
∣
x
=
d
=
h
U
(
v
,
t
)
u
(
x
,
0
)
=
T
0
\\left\\{\\begin{array}{c} \\frac{\\partial u(x, t)}{\\partial t}=a \\frac{\\partial^{2} u(x, t)}{\\partial x^{2}} \\\\ -\\left.\\lambda \\frac{\\partial u(x, t)}{\\partial t}\\right|_{x=0}+\\left.h u(x, t)\\right|_{x=0}=h U(v, t) \\\\ \\begin{array}{c} \\left.\\quad\\lambda \\frac{\\partial u(x, t)}{\\partial t}\\right|_{x=d}+\\left.h u(x, t)\\right|_{x=d}=h U(v, t) \\\\ u(x, 0)=T_{0} \\end{array} \\end{array}\\right.
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧∂t∂u(x,t)=a∂x2∂2u与赫姆霍兹方程对应的二维有限元法
Latex排版[1]：输入矩阵（latex如何输入矩阵对角阵方程组）