国赛助力:第三类边界条件热传导方程及基于三对角矩阵的数值计算MATLAB实现(2020A)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了国赛助力:第三类边界条件热传导方程及基于三对角矩阵的数值计算MATLAB实现(2020A)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

1第三类边界条件的热传导方程

1.1 热传导方程
热传导在一维的各向同性介质里的传播可用以下方程表达:
∂ u ∂ t = a ∂ 2 u ∂ x 2 (1) \\frac{\\partial u}{\\partial t}=a \\frac{\\partial^{2} u}{\\partial x^{2}} \\tag{1} tu=ax22u(1)

其中, u = u ( x , t ) u=u(x,t) u=u(x,t) a = λ c ρ a=\\frac{\\lambda}{c\\rho} a=cρλ λ \\lambda λ表示介质的热传导率, c c c表示介质的比热, ρ \\rho ρ表示介质的密度。
.
1.2 第三类边界条件
考察介质放在另一种介质中的情形。外界介质的温度 U U U与所考察介质表面上的温度 u u u往往并不相同,考虑流过所考察介质表面的热量,从所考察内部介质来看它应由 F o u r i e r Fourier Fourier定律确定,即:
d Q = − λ ∂ u ∂ n d S d t (2) d Q=-\\lambda \\frac{\\partial u}{\\partial n} d S d t \\tag{2} dQ=λnudSdt(2)
其中 ∂ u ∂ n \\frac{\\partial u}{\\partial n} nu表示 u u u沿边界 S S S上的单位外法线方向 n n n的方向导数。从外部方面来看则应由牛顿冷却定律决定,即:
d Q = h ( u − U ) d S d t (3) d Q=h\\left(u-U\\right) d S d t \\tag{3} dQ=h(uU)dSdt(3)
结合 ( 2 ) ( 3 ) (2)(3) (2)(3)得到第三类边界条件:
− λ ∂ u ∂ n = h ( u − U ) (4) -\\lambda \\frac{\\partial u}{\\partial n}=h\\left(u-U\\right) \\tag{4} λnu=h(uU)(4)


2网格剖分

2.1 对符号更细致的说明
如下图所示,以焊接区域中心的上侧与炉内空气接触处为原点,指向电路板内部为正方向建立 x x x轴,热量沿 x x x轴方向传递。

由于接触面环境温度 U U U是与时间 t t t和物件速度 v v v有关,则实际接触面环境温度写作 U ( v , t ) U(v,t) U(v,t)较为合适,其中 v t vt vt为物件横向移动距离:

因此我们可以将第一部分热传导方程进行如下整理:
.
2.2 方程整理
内部(热传导):
∂ u ( x , t ) ∂ t = a ∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 \\frac{\\partial u(x, t)}{\\partial t}=a \\frac{\\partial^{2} u(x, t)}{\\partial x^{2}} tu(x,t)=ax22u(x,t)
上下两边界(第三边界条件):
− λ ∂ u ( x , t ) ∂ t ∣ x = 0 + h u ( x , t ) ∣ x = 0 = h U ( v , t ) λ ∂ u ( x , t ) ∂ t ∣ x = d + h u ( x , t ) ∣ x = d = h U ( v , t ) \\begin{aligned} &-\\left.\\lambda \\frac{\\partial u(x, t)}{\\partial t}\\right|_{x=0}+\\left.h u(x, t)\\right|_{x=0}=h U(v, t) \\\\ &\\left.\\quad\\lambda \\frac{\\partial u(x, t)}{\\partial t}\\right|_{x=d}+\\left.h u(x, t)\\right|_{x=d}=h U(v, t) \\end{aligned} λtu(x,t)x=0+hu(x,t)x=0=hU(v,t)λtu(x,t)x=d+hu(x,t)x=d=hU(v,t)
初值条件:
t = 0 t=0 t=0时,我们认为电路板温度与生产车间的温度 T 0 T_0 T0保持一致,故初值条件为:
u ( x , 0 ) = T 0 u(x,0)=T_0 u(x,0)=T0
整理:
{ ∂ u ( x , t ) ∂ t = a ∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 − λ ∂ u ( x , t ) ∂ t ∣ x = 0 + h u ( x , t ) ∣ x = 0 = h U ( v , t ) λ ∂ u ( x , t ) ∂ t ∣ x = d + h u ( x , t ) ∣ x = d = h U ( v , t ) u ( x , 0 ) = T 0 \\left\\{\\begin{array}{c} \\frac{\\partial u(x, t)}{\\partial t}=a \\frac{\\partial^{2} u(x, t)}{\\partial x^{2}} \\\\ -\\left.\\lambda \\frac{\\partial u(x, t)}{\\partial t}\\right|_{x=0}+\\left.h u(x, t)\\right|_{x=0}=h U(v, t) \\\\ \\begin{array}{c} \\left.\\quad\\lambda \\frac{\\partial u(x, t)}{\\partial t}\\right|_{x=d}+\\left.h u(x, t)\\right|_{x=d}=h U(v, t) \\\\ u(x, 0)=T_{0} \\end{array} \\end{array}\\right. tu(x,t)=ax22u与赫姆霍兹方程对应的二维有限元法

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