组合数_卡特兰定理

Posted 2021-09-13 一只特立独行的猫

当求前缀排列问题时，可以尝试将纯数学的逻辑转换为几何的逻辑。
例：
给定 n 个 0 和 n 个 1，它们将按照某种顺序排成长度为 2n 的序列，求它们能排列成的所有序列中，能够满足任意前缀序列中 0 的个数都不少于 1
的个数的序列有多少个。输出的答案对 109+7取模。
思路

将问题转换为从左下角走到右上角，0往右走，1往上走。就是总的路径数减去经过上红线的路径数。经过上红线的路径按上红线进行对称，一定能走到（n-1,n+1）
即计算$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$的值
卡特兰定理：

$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=\frac{(2n)!}{n!n!}-\frac{2n!}{(n-1)!(n+1)!}=\frac{2n!}{n!(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\frac{2n!}{n!n!}=\frac{1}{n+1}{C}_{2n}^n$

接下来就是计算组合数的问题。

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;
const LL mod = 1e9+7;

int n;

LL qmi(LL a,LL p,LL q){
	//快速幂求逆元
    LL res=1;
    while(p){
        if(p&1) res=res*a%q;
        a=a*a%q;
        p>>=1;
    }
    return res;
}

int main(){
    cin>>n;
    LL res=1;
    for(int i=2*n;i>n;i--) res=res*i%mod;
    for(int i=n;i>0;i--) res=res*qmi(i,mod-2,mod)%mod;
    res=res*qmi(n+1,mod-2,mod)%mod;
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}