剑指 Offer 40. 最小的k个数

Posted 2021-09-13 炫云云

剑指 Offer 40. 最小的k个数

输入整数数组 arr ，找出其中最小的 k 个数。例如，输入4、5、1、6、2、7、3、8这8个数字，则最小的4个数字是1、2、3、4。

示例 1：

输入：arr = [3,2,1], k = 2
输出：[1,2] 或者 [2,1]

示例 2：

输入：arr = [0,1,2,1], k = 1
输出：[0]

限制：

• 0 <= k <= arr.length <= 10000
• 0 <= arr[i] <= 10000

排序

本题使用排序算法解决最直观，对数组 arr 执行排序，再返回前 k 个元素即可。使用任意排序算法皆可，本文采用并介绍 快速排序 ，为下文 方法二 做铺垫。

快速排序原理：

• 快速排序算法有两个核心点，分别为 “哨兵划分” 和 “递归” 。
• 哨兵划分操作： 以数组某个元素（一般选取首元素）为 基准数 ，将所有小于基准数的元素移动至其左边，大于基准数的元素移动至其右边。

如下图所示，为哨兵划分操作流程。通过一轮 哨兵划分 ，可将数组排序问题拆分为 两个较短数组的排序问题 （本文称之为左（右）子数组）。

递归： 对 左子数组 和 右子数组 递归执行 哨兵划分，直至子数组长度为 1 时终止递归，即可完成对整个数组的排序。

如下图所示，为示例数组 [2,4,1,0,3,5] 的快速排序流程。观察发现，快速排序和 二分法 的原理类似，都是以 $\log$ 时间复杂度实现搜索区间缩小。

class Solution(object):
    def getLeastNumbers(self, arr, k):
        """
        :type arr: List[int]
        :type k: int
        :rtype: List[int]
        """
        def quick_sort(arr, l, r):
            # 子数组长度为 1 时终止递归
            if l >= r: 
                return
            # 哨兵划分操作（以 arr[l] 作为基准数
            i, j = l, r
            while i < j:
                while i <j and arr[j] >= arr[l]:
                    j-=1
                while i <j and  arr[i] <= arr[l]:
                    i +=1
                arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i] # arr[j] < arr[l] <arr[i]时候
            arr[l], arr[i] = arr[i], arr[l] # 交换哨兵
            # 递归左（右）子数组执行哨兵划分
            quick_sort(arr,l,i-1)
            quick_sort(arr,i+1,r)

        quick_sort(arr, 0, len(arr)-1)
        return arr[:k]
                

基于快速排序的数组划分

题目只要求返回最小的 k 个数，对这 k 个数的顺序并没有要求。因此，只需要将数组划分为 最小的 k 个数 和 其他数字 两部分即可，而快速排序的哨兵划分可完成此目标。

根据快速排序原理，如果某次哨兵划分后 基准数正好是第 $k+1$​ 小的数字 ，那么此时基准数左边的所有数字便是题目所求的 最小的 $k$ 个数 。

根据此思路，考虑在每次哨兵划分后，判断基准数在数组中的索引是否等于 $k$ ，若 true 则直接返回此时数组的前 k 个数字即可。

算法流程：

getLeastNumbers() 函数：

1. 若 $k$ 大于数组长度，则直接返回整个数组；
2. 执行并返回 quick_sort() 即可；

quick_sort() 函数：

注意，此时 quick_sort() 的功能不是排序整个数组，而是搜索并返回最小的 $k$ 个数。

1. 哨兵划分：

• 划分完毕后，基准数为 arr[i] ，左 / 右子数组区间分别为 [l,i−1] , [i + 1, r] ；

2. 递归或返回：

• 若 $k<i$ ，代表第 $k+1$​ 小的数字在 左子数组 中，则递归左子数组；
• 若 $k>i$ ，代表第 $k+1$​小的数字在 右子数组 中，则递归右子数组；
• 若 $k=i$，代表此时 $arr[k]$ 即为第 $k+1$ 小的数字，则直接返回数组前 $k$ 个数字即可；

class Solution(object):
    def getLeastNumbers(self, arr, k):
        """
        :type arr: List[int]
        :type k: int
        :rtype: List[int]
        """
        if k >= len(arr): 
            return arr
        def quick_sort(l, r):
            i , j =l,r
            while i <j:
                while i <j and arr[j] >= arr[l]:
                    j-=1
                while i <j and  arr[i] <= arr[l]:
                    i +=1
                arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
            arr[l], arr[i] = arr[i], arr[l]
            # i 为哨兵的索引
            if k < i: return quick_sort(l, i - 1) 
            if k > i: return quick_sort(i + 1, r)
            return arr[:k]
            
        return quick_sort(0, len(arr) - 1)

参考

Krahets - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)