剑指 Offer 39. 数组中出现次数超过一半的数字

Posted 2021-09-13 炫云云

剑指 Offer 39. 数组中出现次数超过一半的数字

数组中有一个数字出现的次数超过数组长度的一半，请找出这个数字。

你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在多数元素。

示例 1:

输入: [1, 2, 3, 2, 2, 2, 5, 4, 2]
输出: 2

哈希表

思路

我们知道出现次数最多的元素大于 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 次，所以可以用哈希表来快速统计每个元素出现的次数。

算法

我们使用哈希映射（HashMap）来存储每个元素以及出现的次数。对于哈希映射中的每个键值对，键表示一个元素，值表示该元素出现的次数。

class Solution(object):
    def majorityElement(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        import collections
        counts = collections.Counter(nums)
        return max(counts.keys(), key=counts.get)

排序

思路

如果将数组 nums 中的所有元素按照单调递增或单调递减的顺序排序，那么下标为 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 的元素（下标从 0 开始）一定是众数。

class Solution(object):
    def majorityElement(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        nums.sort()
        return nums[len(nums) // 2]

摩尔投票法

核心理念为 票数正负抵消 。此方法时间和空间复杂度分别为 $O(N)$ 和 O(1) ，为本题的最佳解法。

摩尔投票法：

设输入数组 nums 的众数为 x ，数组长度为 n 。

推论一： 若记 众数 的票数为 +1 ，非众数 的票数为 -1 ，则一定有所有数字的 票数和 > 0 。

推论二： 若数组的前 $a$ 个数字的 票数和 = 0 ，则 数组剩余 $(n-a)$ 个数字的 票数和一定仍 >0 ，即后 $(n-a)$ 个数字的 众数仍为 x 。

根据以上推论，记数组首个元素为 $n_1$​, 众数为 $x$​, 遍历并统计票数。当发生 票数和 $=0$​ 时，剩余数 组的众数一定不变，这是由于：

• 当 $n_1=x$ : 抵消的所有数字中，有一半是众数 $x$ 。
• 当 $n_1\ne x$ : 抵消的所有数字中，众数 $x$ 的数量最少为 0 个，最多为一半。

利用此特性，每轮假设发生 票数和 = 0 都可以 缩小剩余数组区间 。当遍历完成时，最后一轮假设的数字即为众数。

算法流程:

1. 初始化： 票数统计 votes = 0 ， 众数 x；

2. 循环： 遍历数组 nums 中的每个数字 num ；

   当 票数 votes 等于 0 ，则假设当前数字 num 是众数；

   当 num = x 时，票数 votes 自增 1 ；当 num != x 时，票数 votes 自减 1

3. 返回值： 返回 x 即可；

class Solution(object):
    def majorityElement(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        votes = 0
        for num in nums:
            if votes == 0: 
                x = num
            votes += 1 if num == x else -1
        return x

拓展： 由于题目说明 给定的数组总是存在多数元素 ，因此本题不用考虑 数组不存在众数 的情况。若考虑，需要加入一个 “验证环节” ，遍历数组 nums 统计 x 的数量。

• 若 x 的数量超过数组长度一半，则返回 x ；
• 否则，返回未找到众数；

时间和空间复杂度不变，仍为 $O(N)$和 $O(1)$ 。

class Solution(object):
    def majorityElement(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        votes, count = 0, 0
        for num in nums:
            if votes == 0: 
                x = num
            votes += 1 if num == x else -1
        for num in nums:
            # 验证 x 是否为众数
            if num == x: 
                count += 1
        return x if count > len(nums) // 2 else 0 # 当无众数时返回 0

参考

Krahets - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)