剑指 Offer 17. 打印从1到最大的n位数

Posted 2021-09-13 炫云云

剑指 Offer 17. 打印从1到最大的n位数

输入数字 n，按顺序打印出从 1 到最大的 n 位十进制数。比如输入 3，则打印出 1、2、3 一直到最大的 3 位数 999。

示例 1:

输入: n = 1
输出: [1,2,3,4,5,6,7,8,9]

说明：

• 用返回一个整数列表来代替打印
• $n$ 为正整数

解题思路：

题目要求打印 “从 1 至最大的 $n$ 位数的列表” ，因此需考虑以下两个问题：

1. 最大的 $n$ 位数（记为 end ）和位数 $n$ 的关系： 例如最大的 1 位数是 9 ，最大的 2 位数是 99 ，最大的 3 位数是 999 。则可推出公式：
   $$end=10^n-1$$

class Solution:
    def printNumbers(self, n: int) -> List[int]:
        return list(range(1, 10 ** n))

2. 大数越界问题： 当 $n$ 较大时，end会超出 int32 整型的取值范围，超出取值范围的数字无法正常存储。

大数打印解法：

实际上，本题的主要考点是大数越界情况下的打印。需要解决以下三个问题：

1. 表示大数的变量类型：
   无论是 short / int / long … 任意变量类型，数字的取值范围都是有限的。因此，大数的表示应用字符串 String 类型。

2. 生成数字的字符串集：

   • 使用 int 类型时，每轮可通过 +1 生成下个数字，而此方法无法应用至 String 类型。并且， String 类型的数字的进位操作效率较低，例如 “9999” 至 “10000” 需要从个位到千位循环判断，进位 4 次。

   • 观察可知，生成的列表实际上是 $n$ 位 $0-9$ 的 全排列 ，因此可避开进位操作，通过递归生成数字的 String 列表。

3. 递归生成全排列：
   基于分治算法的思想，先固定高位，向低位递归，当个位已被固定时，添加数字的字符串。例如当 $n=2$ 时（数字范围 $1-99$ ），固定十位为 $0-9$ ，按顺序依次开启递归，固定个位 $0-9$ ，终止递归并添加数字字符串。

根据以上方法，可初步编写全排列代码：

class Solution(object):
    def printNumbers(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: List[int]
        """
        def dfs(x):
            if x == n: # 终止条件：已固定完所有位
                res.append(''.join(num)) # 拼接 num 并添加至 res 尾部
                return
            for i in range(10): # 遍历 0 - 9
                num[x] = str(i) # 固定第 x 位为 i
                dfs(x + 1) # 开启固定第 x + 1 位
        num =['0'] *n # 起始数字定义为 n 个 0 组成的字符列表
        res= [] # 数字字符串列表
        dfs(0) # 开启全排列递归
        return ','.join(res)  # 拼接所有数字字符串，使用逗号隔开，并返回

a =Solution()
print(a.printNumbers(1),'\\n')
print(a.printNumbers(2),'\\n')

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 

00,01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99 

​

观察可知，当前的生成方法仍有以下问题：

1. 诸如 $00,01,02,\cdots$ 应显示为 $0,1,2,\cdots$ ，即应 删除高位多余的 $0$ ;
2. 此方法从 0开始生成，而题目要求 列表从 1 开始 ；

以上两个问题的解决方法如下：

1. 删除高位多余的 0 ：
   字符串左边界定义： 声明变量 start 规定字符串的左边界，以保证添加的数字字符串 num[start:] 中无高位多余的 0 。例如当 $n=2$ 时， $1-9$ 时 $start=1$ ， $10-99$ 时 $start=0$ 。

   左边界 $start$ 变化规律： 观察可知，当输出数字的所有位都是 $9$ 时，则下个数字需要向更高位进 $1$ ，此时左边界 start 需要减 $1$​ （即高位多余的 0 减少一个）。例如当 $n=3$ （数字范围 1 - 999 ）时，左边界 start 需要减 1 的情况有： “009” 进位至 “010” ， “099” 进位至 “100” 。设数字各位中 9 的数量为 $nine$​​ ，所有位都为 9 的判断条件可用以下公式表示：
   $$n-start=nine$$
   统计 nine的方法： 固定第 $x$ 位时，当 $i=9$​ 则执行 $nine=nine+1$ ，并在回溯前恢复 $nine=nine-1$ 。

2. 列表从 1 开始：
   在以上方法的基础上，添加数字字符串前判断其是否为 “0” ，若为 “0” 则直接跳过。

class Solution(object):
    def printNumbers(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: List[int]
        """
        def dfs(x):
            if x == n:
                s = ''.join(num[self.start:])
                if s != '0': 
                    res.append(int(s))
                if n - self.start == self.nine: # 3-2=1 ,3-1=2
                    self.start -= 1
                return
            for i in range(10):
                if i == 9: self.nine += 1
                num[x] = str(i)
                dfs(x + 1)
            self.nine -= 1
        num, res = ['0'] * n, []
        self.nine = 0
        self.start = n - 1
        dfs(0)
        return res

参考

Krahets - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)