前缀和思想

Posted 2021-09-13 吃花椒的妙酱

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了前缀和思想相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

思路：dp，矩阵前缀和

容易想到转移方程

dp[i][0] = dp[i-1][0] + dp[i-1][1](若右到左有梯子)

dp[i][1] = dp[i-1][1] + dp[i-1][0](若左到右有梯子)

继续写下，以上dp式可以写成矩阵

问号处就是梯子的情况

利用前缀积处理区间询问即可，有询问区间[l,r]，普通前缀乘我们要做的就是r/l，因为矩阵左乘的性质，矩阵前缀积的处理则要转化为l的逆矩阵乘矩阵r，注意一下逆矩阵负数取模

现在我们改下题面，改成带修梯子方向的在线询问，怎么做？

一个思路是线段树维护区间矩阵积……

思路，容易想到球的交换有前缀和性质，就是不好写

假设我们现在有球1,2，3，交换得3,2,1

我们给3,2，1重新编号为1,2,3，反推得交换前的球编号为2,1,3

这样就抵消掉询问区间[l,r]，l-1以前交换的效果了，重新编号后，将r时的小球状态还原成重新编号的球即可

思路：群论

有个定理，最高次项为n次的n阶多项式做n+1阶差分后余项为常数，前后缀和区间加多项式

差分的最本质就可以从区间加减多项式体现出来了

对[l,r]加f(x)操作，需要对位置r+1进行减f(x+r-l+1)的操作，相当于一次差分的++--操作

#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <list>
#include <queue>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <deque>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define _for(i,a,b) for(int i=(a) ;i<=(b) ;i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i=(a) ;i>=(b) ;i--)
#define scd(v) scanf("%d",&v)
#define scdd(a,b) scanf("%d %d",&a,&b)
#define endl "\\n"
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define pb push_back
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define int long long
#define odd(x) x&1
#define mst(v,a) memset(v,a,sizeof(v))
#define lson p<<1 ,l,mid
#define rson p<<1|1,mid+1,r
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define inf 0x7f7f7f7f
const int N=1e5+500;
const int mod=1e9+7;
int n,m,l,r,k,q;
int a[N];
int b1[N],b2[N],ki[N];
void D(int a[] ,int len ,int cnt)//差分数组
{
    while( cnt-- )
    {
        _rep(i,len,1)
        {
            a[i] = a[i] - a[i-1];
            a[i] = (a[i]+mod)%mod;
        }
    }
}
void P(int a[] ,int len ,int cnt)//差分数组
{
    while( cnt-- )
    {
        _for(i,1,len)
        {
            a[i] = a[i] + a[i-1];
            a[i] = (a[i])%mod;
        }
    }
}
int f(int x, int a[] ,int k)
{
    int ans=0;
    int base=1;
    _for(i,0,k)
    {
        ans += base * ki[i], ans %=mod;
        base *= x ,base%=mod;
    }
    return ans;
}
int g(int x, int a[] ,int k ,int l, int r)
{
    return (mod - f(x+r-l+1,a,k))%mod;
}
signed main()
{
    //!!//
//    freopen("data.txt","r",stdin);
    //!!
    IOS;
    cin>>n>>m>>q;
    _for(i,1,n) cin>>a[i];
    D(a,n,6);
    while( m-- )
    {
        cin>>l>>r>>k;
        _rep(i,k,0)
        {
            cin>>ki[i];
        }
        _for(i,1,10)//差分前十项就够了
        {
            b1[i] = f(i,ki,k);
            b2[i] = g(i,ki,k,l,r);
        }
        //k最大5，差分六次即可
        D(b1,10,6);
        D(b2,10,6);
        _for(i,1,10)
        {
            a[l+i-1] += b1[i] , a[l+i-1]%=mod;
            a[r+i] += b2[i] , a[r+i]%mod;
        }
    }
    P(a,n,7);//还原差分且求前缀和
    while( q-- )
    {
        int l,r;cin>>l>>r;
        cout<<(a[r]-a[l-1]+mod)%mod<<endl;
    }
}