[数值计算-14]：拉格朗日插值与Python代码实现

Posted 2021-09-12 文火冰糖的硅基工坊

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[数值计算-14]：拉格朗日插值与Python代码实现相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

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2.2 插值的关键是如何构建插值函数！！！

第1章案例与建模

1.1 案例说明

1.2 建模与预测

第2章插值

2.1 什么是插值

这里的插值条件是：插值函数要经过所有现有的样本点！！！

这个插值条件的优点：在样本点的误差为0。

这个插值条件的缺点：这个条件还是比较苛刻的，导致选用高次函数，且样本点的个数越多，函数的最高次的次数越高。

2.2 插值的关键是如何构建插值函数！！！

第3章拉格朗日插值

有没有一种插值方法，不需要求解线性方程组，只需要对样本点数据进行数值计算，就可以获取插值函数，拉格朗日插值就是这样的一种插值方法。

3.1 拉格朗日插值的基本思想

假如有N+1个采样点，能否在每个采样点Xk处，都构建这样的一个n次多项式函数Lk(x)，该该函数满足：

（1）当i = k是，Lk(Xi) = Yi

（2）当i ！= k是，Lk(Xi) = 0

这样，把所有点的n次多项式进行累加，这样就可以得到N+1个采样点的多项式插值函数。

其中Lk(x)为基函数，累计后的函数为插值函数

3.2 拉格朗日基函数

基函数的次数与采样点的个数有对应的关系，N+1点，基函数的次数就是N。

3.3 拉格朗日插值函数

插值函数是基函数的简单的线性相加。

3.3 拉格朗日2点插值公式拆解

（1）公式描述

（2）代码示例：2个采样点数据

#导入库
from math import *
import time
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl


print('两点插值的采样数据：')
x_samples_dot2 = [1, 2]#创建x列表存储数据x值
y_samples_dot2 = [4, 8]#创建y列表存储数据的y值
print("X:", x_samples_dot2)
print("Y:", y_samples_dot2)
plt.scatter(x_samples_dot2, y_samples_dot2, label="sample", color="black")
plt.plot   (x_samples_dot2, y_samples_dot2, label="sample", color="red")

mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] #设置中文字体
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.title("Dot2 采样数据")
plt.legend(loc="upper left")
plt.show()

输出：

两点插值的采样数据：
X: [1, 2]
Y: [4, 8]

（3）代码示例：两点插值的分解与叠加

# 插值基函数
#L0(x) = y0 * (x-x1)/(x0-x1)
def Dot2_L0(x, x_data,y_data):
    return (y_data[0] * (x-x_data[1])/(x_data[0]-x_data[1]))

#L1(x) = y1 * (x-x0)/(x1-x0)
def Dot2_L1(x, x_data,y_data):
    return (y_data[1] * (x-x_data[0])/(x_data[1]-x_data[0]))

# 插值函数：是基函数的线性叠加
def Dot2_F(x, x_data, y_data):
    return (Dot2_L0(x, x_data,y_data) + Dot2_L1(x, x_data,y_data))


#基函数的预测
#输入x数据序列
x_data_predict_dot2 = np.arange(0, 3, 0.2)

#基函数L0的预测序列
y_data_predict_dot2_L0 = Dot2_L0(x_data_predict_dot2, x_samples_dot2, y_samples_dot2)

#基函数L1的预测序列
y_data_predict_dot2_L1 = Dot2_L1(x_data_predict_dot2, x_samples_dot2, y_samples_dot2)

#插值函数的预测序列
y_data_predict_dot2_F = Dot2_F(x_data_predict_dot2, x_samples_dot2, y_samples_dot2)


#显示基函数与插值函数的图形
plt.scatter(x_samples_dot2, y_samples_dot2, label="sample", color="black")#画点
plt.plot   (x_data_predict_dot2, y_data_predict_dot2_L0, label="L0(x)", color="green")
plt.plot   (x_data_predict_dot2, y_data_predict_dot2_L1, label="L1(x)", color="blue")#画点
plt.plot   (x_data_predict_dot2, y_data_predict_dot2_F, label="f(x)", color="red")#画点

#设置属性
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.title("Dot2 拉格朗日插值拟合过程")
plt.legend(loc="upper left")
plt.show()

输出结果：

从上述图形可以看出：

基函数L0(x) 是一条直线，且穿过(x0,y0)点。
基函数L1(x) 是一条直线，且穿过(x1,y1)点。
插值函数F(x) 是L0(x)和L1(x)的线性叠加，
插值函数F(x) 也是一条直线，且同时穿过(x0,y0)点和(x1,y1)点。

3.4 拉格朗日3点插值公式

（1）公式描述

（2）代码示例：样本点图形

print('三点插值的采样数据：')
x_samples_dot3 = [1, 2, 3]#创建x列表存储数据x值
y_samples_dot3 = [4, 8, 6]#创建y列表存储数据的y值
print("X:", x_samples_dot3)
print("Y:", y_samples_dot3)
plt.scatter(x_samples_dot3, y_samples_dot3, label="sample", color="black")#画点
plt.plot   (x_samples_dot3, y_samples_dot3, label="sample", color="red")#画点

plt.title("Dot3 采样数据")
plt.legend(loc="upper left")
plt.show()

输出：

三点插值的采样数据：
X: [1, 2, 3]
Y: [4, 8, 6]

（3）代码示例：两点插值的分解与叠加

# 基函数
#L0(x) = y0 * ((x-x1)*(x-x2))/((x0-x1)*(x0-x2))
def Dot3_L0(x, x_data,y_data):
    return (y_data[0] * ((x-x_data[1]) * (x-x_data[2]))/((x_data[0]-x_data[1]) * (x_data[0]-x_data[2])))

#L1(x) = y1 * ((x-x0)*(x-x2))/((x1-x0)*(x1-x2))
def Dot3_L1(x, x_data,y_data):
    return (y_data[1] * ((x-x_data[0]) * (x-x_data[2]))/((x_data[1]-x_data[0]) * (x_data[1]-x_data[2])))

#L0(x) = y2 * ((x-x0)*(x-x1))/((x2-x0)*(x2-x1))
def Dot3_L2(x, x_data,y_data):
    return (y_data[2] * ((x-x_data[0]) * (x-x_data[1]))/((x_data[2]-x_data[0]) * (x_data[2]-x_data[1])))

#插值函数：是基函数的线性叠加
def Dot3_F(x, x_data, y_data):
    return (Dot3_L0(x, x_data,y_data) + Dot3_L1(x, x_data,y_data) + Dot3_L2(x, x_data,y_data))


##函数的预测：输入数据序列为x
x_data_predict_dot3 = np.arange(0, 4.2, 0.2)

#基函数L0的预测序列
y_data_predict_dot3_L0 = Dot3_L0(x_data_predict_dot3, x_samples_dot3, y_samples_dot3)

#基函数L1的预测序列
y_data_predict_dot3_L1 = Dot3_L1(x_data_predict_dot3, x_samples_dot3, y_samples_dot3)

#基函数L2的预测序列
y_data_predict_dot3_L2 = Dot3_L2(x_data_predict_dot3, x_samples_dot3, y_samples_dot3)

#插值函数的预测序列
y_data_draw_dot3_F     = Dot3_F (x_data_predict_dot3, x_samples_dot3, y_samples_dot3)


#显示基函数与插值函数的关系
plt.scatter(x_samples_dot3, y_samples_dot3, label="sample", color="black")
plt.plot   (x_data_predict_dot3, y_data_predict_dot3_L0, label="L0(x)", color="green")
plt.plot   (x_data_predict_dot3, y_data_predict_dot3_L1, label="L1(x)", color="blue")
plt.plot   (x_data_predict_dot3, y_data_predict_dot3_L2, label="L2(x)", color="Orange")
plt.plot   (x_data_predict_dot3, y_data_draw_dot3_F, label="f(x)", color="red")

#设置属性
#mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
#mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.title("Dot3 拉格朗日插值拟合过程")
plt.legend(loc="upper left")
plt.show()

输出结果：

从上述图形可以看出：

基函数L0(x) 是一条抛物线，且穿过(x0,y0)点。
基函数L1(x) 是一条抛物线，且穿过(x1,y1)点。
基函数L2(x) 是一条抛物线，且穿过(x2,y2)点。
插值函数F(x) 是L0(x)、L1(x)、L2(x)的线性叠加
插值函数F(x)也是一条抛物线，且同时穿过(x0,y0)，(x1,y1)，(x2,y2)三个采样点。

3.5 拉格朗日插值的优缺点

（1）优点

不需要用矩阵求解线性方程组，只需要简单的循环计算就可以得到插值函数。
基函数的次数与采样点的个数有对应的关系，N+1点，基函数的次数就是N。
插值函数是基函数的简单的线性相加。

（2）缺点

当增加一个点或减少一个点时，需要全部重新计算，每个点的个数决定了每个点处的基函数的次数，当采样点的个数发生变化的时候，每个点处的基函数也发生了变化。因此所有的基函数都需要重选计算。

第4章拉格朗日通用函数的Python实现

4.1 通用的基函数的定义

# 通用的基函数的定义
def LagrangeInterpolationDotN_Li(x, x_data, y_data, k):
    size = len(x_data)
    i = 0
    
    Ly = y_data[k]  # 初值为Yk
    
    while( i < size):
        if(i != k):
            Ly = Ly * (x-x_data[i])/(x_data[k]-x_data[i])
        i += 1
    return (Ly)

4.2 通用的插值函数的定义

# 通用的插值函数的定义
def LagrangeInterpolationDotN_F(x, x_data, y_data):
    size = len(x_data)
    k = 0
    sum = 0  # 初值为0

    while(k < size):
        sum = sum + LagrangeInterpolationDotN_Li(x, x_data, y_data, k)
        k += 1
    return (sum)

4.3 拉格朗日2点插值代码示例

（1）采样点

print('两点插值的采样数据：')
x_samples_dot2 = [1, 2]#创建x列表存储数据x值
y_samples_dot2 = [4, 8]#创建y列表存储数据的y值
print("X:", x_samples_dot2)
print("Y:", y_samples_dot2)
plt.scatter(x_samples_dot2, y_samples_dot2, label="sample", color="black")#画点
plt.plot   (x_samples_dot2, y_samples_dot2, label="sample", color="red")#画点

mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] #设置中文字体
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.title("LagrangeInterpolation Dot2 采样数据")
plt.legend(loc="upper left")
plt.show()

（2）插值过程

#输入序列x
x_data_predict_dot2 = np.arange(0, 3, 0.2)

#基函数L0预测序列
y_data_predict_dot2_L0 = LagrangeInterpolationDotN_Li(x_data_predict_dot2, x_samples_dot2, y_samples_dot2, 0)

#基函数L1预测序列
y_data_predict_dot2_L1 = LagrangeInterpolationDotN_Li(x_data_predict_dot2, x_samples_dot2, y_samples_dot2, 1)

#插值函数预测序列
y_data_predict_dot2_F  = LagrangeInterpolationDotN_F (x_data_predict_dot2, x_samples_dot2, y_samples_dot2)


#显示图形
plt.scatter(x_samples_dot2, y_samples_dot2, label="sample", color="black")#画点
plt.plot   (x_data_predict_dot2, y_data_predict_dot2_L0, label="L0(x)", color="green")
plt.plot   (x_data_predict_dot2, y_data_predict_dot2_L1, label="L1(x)", color="blue")#画点
plt.plot   (x_data_predict_dot2, y_data_predict_dot2_F, label="f(x)", color="red")#画点

#设置属性
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.title("Dot2 拉格朗日插值拟合过程")
plt.legend(loc="upper left")
plt.show()

输出：

从上述图形可以看出：

基函数L0(x) 是一条直线，且穿过(x0,y0)点。
基函数L1(x) 是一条直线，且穿过(x1,y1)点。
插值函数F(x) 是L0(x)和L1(x)的线性叠加，
插值函数F(x) 也是一条直线，且同时穿过(x0,y0)点和(x1,y1)点。

4.4 拉格朗日3点插值代码示例

（1）采样点数据

print('三点插值的采样数据：')
x_samples_dot3 = [1, 2, 3]#创建x列表存储数据x值
y_samples_dot3 = [4, 8, 6]#创建y列表存储数据的y值
print("X:", x_samples_dot3)
print("Y:", y_samples_dot3)
plt.scatter(x_samples_dot3, y_samples_dot3, label="sample", color="black")#画点
plt.plot   (x_samples_dot3, y_samples_dot3, label="sample", color="red")#画点

plt.title("Dot3 采样数据")
plt.legend(loc="upper left")
plt.show()

三点插值的采样数据：
X: [1, 2, 3]
Y: [4, 8, 6]

（2）插值过程

#输入序列x
x_data_predict_dot3 = np.arange(0, 4.2, 0.2)

#基函数L0预测序列
y_data_predict_dot3_L0 = LagrangeInterpolationDotN_Li(x_data_predict_dot3, x_samples_dot3, y_samples_dot3, 0)

#基函数L1预测序列
y_data_predict_dot3_L1 = LagrangeInterpolationDotN_Li(x_data_predict_dot3, x_samples_dot3, y_samples_dot3, 1)

#基函数L2预测序列
y_data_predict_dot3_L2 = LagrangeInterpolationDotN_Li(x_data_predict_dot3, x_samples_dot3, y_samples_dot3, 2)

#基函数L3预测序列
y_data_predict_dot3_F  = LagrangeInterpolationDotN_F (x_data_predict_dot3, x_samples_dot3, y_samples_dot3)


#图形显示
plt.scatter(x_samples_dot3, y_samples_dot3, label="sample", color="black")
plt.plot   (x_data_predict_dot3, y_data_predict_dot3_L0, label="L0(x)", color="green")
plt.plot   (x_data_predict_dot3, y_data_predict_dot3_L1, label="L1(x)", color="blue")
plt.plot   (x_data_predict_dot3, y_data_predict_dot3_L2, label="L2(x)", color="Orange")
plt.plot   (x_data_predict_dot3, y_data_draw_dot3_F, label="f(x)", color="red")

#设置属性
#mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
#mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.title("Dot3 拉格朗日插值拟合过程")
plt.legend(loc="upper left")
plt.show()

从上述图形可以看出：

基函数L0(x) 是一条抛物线，且穿过(x0,y0)点。
基函数L1(x) 是一条抛物线，且穿过(x1,y1)点。
基函数L2(x) 是一条抛物线，且穿过(x2,y2)点。
插值函数F(x) 是L0(x)、L1(x)、L2(x)的线性叠加
插值函数F(x)也是一条抛物线，且同时穿过(x0,y0)，(x1,y1)，(x2,y2)三个采样点。

4.5 拉格朗日4点插值代码示例

（1）样本数据

print('四点插值的采样数据：')
x_samples_dot4 = [1, 2, 3, 4]#创建x列表存储数据x值
y_samples_dot4 = [4, 8, 6, 7]#创建y列表存储数据的y值
print("X:", x_samples_dot4)
print("Y:", y_samples_dot4)
plt.scatter(x_samples_dot4, y_samples_dot4, label="sample", color="black")#画点
plt.plot   (x_samples_dot4, y_samples_dot4, label="sample", color="red")#画点

plt.title("Dot4 采样数据")
plt.legend(loc="upper left")
plt.show()

输出：
四点插值的采样数据：
X: [1, 2, 3, 4]
Y: [4, 8, 6, 7]

（2）插值过程

#输入序列x
x_data_predict_dot4 = np.arange(0, 5, 0.2)

#基函数L0预测序列
y_data_predict_dot4_L0 = LagrangeInterpolationDotN_Li(x_data_predict_dot4, x_samples_dot4, y_samples_dot4, 0)
#基函数L1预测序列
y_data_predict_dot4_L1 = LagrangeInterpolationDotN_Li(x_data_predict_dot4, x_samples_dot4, y_samples_dot4, 1)
#基函数L2预测序列
y_data_predict_dot4_L2 = LagrangeInterpolationDotN_Li(x_data_predict_dot4, x_samples_dot4, y_samples_dot4, 2)
#基函数L3预测序列
y_data_predict_dot4_L3 = LagrangeInterpolationDotN_Li(x_data_predict_dot4, x_samples_dot4, y_samples_dot4, 3)

#插值函数预测序列
y_data_predict_dot4_F  = LagrangeInterpolationDotN_F (x_data_predict_dot4, x_samples_dot4, y_samples_dot4)


#图形显示
plt.scatter(x_samples_dot4, y_samples_dot4, label="sample", color="black")
plt.plot   (x_data_predict_dot4, y_data_predict_dot4_L0, label="L0(x)", color="green")
plt.plot   (x_data_predict_dot4, y_data_predict_dot4_L1, label="L1(x)", color="blue")
plt.plot   (x_data_predict_dot4, y_data_predict_dot4_L2, label="L2(x)", color="Orange")
plt.plot   (x_data_predict_dot4, y_data_predict_dot4_L3, label="L3(x)", color="Purple")
plt.plot   (x_data_predict_dot4, y_data_predict_dot4_F, label="f(x)", color="red")

#设置属性
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.title("Dot4 拉格朗日插值拟合过程")
plt.legend(loc="upper left")
plt.show()