Python数学建模系列:图论

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前言

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1 图论模型 - Dijkstra

Dijkstra算法能求一个顶点到另一顶点最短路径。

基础概念

  • 无向图: 若图中的每条边都是没有方向的,则称该图为无向图。
  • 有向图: 若图中的每条边都是有方向的,则称该图为有向图。
  • 混合图: 若图中的部分边是有方向的,而部分边是无方向的,则称该图为混合图。

样例1

如下图所示,我们需要从①点走到⑨点,每条边的红色数 字代表这条边的长度,我们如何找到①到⑨的最短路径呢?


步骤:

  1. 将①标记为P,其它标记为T,找出从①出发当前最短的边所到的点,将该点的T改为P
  2. 将所有P点找到可以到达的T标记点上最短的边,将到达的点T改为P
  3. 重复步骤,指导终点的T变为P

过程展示:圈加数字代表每个顶点,()内数字代表当前行走的距离

1.①(0)
2.①②(1)
3.①②⑤(3)
4.①②⑤(3)      ①④(3)
5.①②⑤⑦(5)     ①④(3)
6.①②⑤⑦⑥(6)     ①④(3)
7.①②⑤⑦⑥(6)     ①②⑤③(6)     ①④(3)
8.①②⑤⑦⑥(6)     ①②⑤③④(7)     ①④(3)
9.①②⑤⑦⑥⑧(8)     ①②⑤③④(7)     ①④(3)
10.①②⑤⑦⑥⑧(8)     ①②⑤⑦⑨(8)     ①②⑤③④(7)     ①④(3)

所以最短的路径是 ① ② ⑤ ⑦ ⑨, 长度为8

带权邻接矩阵: 带权邻接矩阵是表示顶点相邻关系的矩阵,例如上面那个图的带权邻接矩阵如下

注意:原PPT中有错误, 点9 -> 点7 应该为inf (上图已经修改)

每个点和自己的距离为0(主对角线上元素都是零)

在图上相邻两个点的如果是连通的,距离就是矩阵的值,无向 的关于主对角线对称;有向的只有可以过去的路有数值

无法连通的距离就是无穷,记为inf

Demo代码

# 运行环境:Vs Code
# PPT中代码有点错误 已经修改~ 
# 以下代码经测试 可行
from collections import defaultdict 
from heapq import * 
inf = 99999 # 不连通值 
mtx_graph = [[0, 1, inf, 3, inf, inf, inf, inf, inf],
             [1, 0, 5, inf, 2, inf, inf, inf, inf],
             [inf, inf, 0, 1, inf, 6, inf, inf, inf],
             [inf, inf, inf, 0, inf, 7, inf, 9, inf],
             [inf, 2, 3, inf, 0, 4, 2, inf, 8],
             [inf, inf, 6, 7, inf, 0, inf, 2, inf],
             [inf, inf, inf, inf, inf, 1, 0, inf, 3],
             [inf, inf, inf, inf, inf, inf, 1, 0, 2], 
             [inf, inf, inf, inf, 8, inf, inf, 2, 0]]
m_n = len(mtx_graph)#带权连接矩阵的阶数 
edges = [] #保存连通的两个点之间的距离(点A、点B、距离) 
for i in range(m_n): 
    for j in range(m_n): 
        if i!=j and mtx_graph[i][j]!=inf: 
            edges.append((i,j,mtx_graph[i][j])) 

def dijkstra(edges, from_node, to_node): 
    go_path = [] 
    to_node = to_node-1 
    g = defaultdict(list) 
    for l,r,c in edges:
        # l:点A r:点B c:距离 
        # 字典: 点A -> (距离,点B)
        g[l].append((c,r)) 
    q, seen = [(0, from_node-1, ())], set()
    while q: 
        (cost, v1, path) = heappop(q)#堆弹出当前路径最小成本 
        if v1 not in seen: 
            seen.add(v1) 
            path = (v1, path) 
            if v1 == to_node: 
                break 
            for c, v2 in g.get(v1, ()): 
                if v2 not in seen: 
                    heappush(q, (cost+c, v2, path)) 
                
    if v1!=to_node:   #无法到达 
        return float('inf'), []
    if len(path)>0: 
        left=path[0] 
        go_path.append(left) 
        right=path[1] 
        while len(right)>0: 
            left=right[0] 
            go_path.append(left) 
            right=right[1] 
            
        go_path.reverse() #逆序变换 
        for i in range(len(go_path)): #标号加1 
            go_path[i]=go_path[i]+1 
    return cost, go_path 
leght, path = dijkstra(edges, 1, 9) 
print('最短距离为:'+str(leght)) 
print('前进路径为:'+str(path))

运行结果

最短距离为:8
前进路径为:[1, 2, 5, 7, 9]

2 图论模型-Floyd

Floyd算法通过动态规划解决任意两点间的最短路径(多源最短路径)的问题,可以正确处理负权的最短路径问题

关键原理:

d [ i ] [ j ] = m i n ( d [ i ] [ k ] + d [ k ] [ j ] ) ( 1 < = k < = n ) d[i][j] = min(d[i][k] + d[k][j]) (1 <= k <= n) d[i][j]=min(d[i][k]+d[k][j])(1<=k<=n)
枚举中间点k,找到最小的 d [ i ] [ k ] + d [ k ] [ j ] d[i][k] + d[k][j] d[i][k]+d[k][j],作为 d [ i ] [ j ] d[i][j] d[i][j]的最小值

关键结论:

假设i和j之间的最短路径上的结点集里(不包含i,j),编号最大的一个是x.那么在外循环k = x时, d [ i ] [ j ] d[i][j] d[i][j] 肯定得到了最小值.

强归纳法 :

设i到x中间编号最大的是x1,x到j中间编号最大的是x2.由于x是i到j中间编号最大的,那么显然 x 1 < x , x 2 < x x_1 < x , x_2 < x x1<x,x2<x

根据结论, k = x 1 k= x_1 k=x1时候 d [ i ] [ x ] d [i][x] d[i][x]已经取得最小值, k = x 2 k = x_2 k=x2时候 d [ x ] [ j ] d [x][j] d[x][j]已经取得最
小值

那么 k = x k=x k=x时, d [ i ] [ x ] d[i][x] d[i][x] d [ x ] [ j ] d [x][j] d[x][j]已经都取得最小值.

因此 k = x k= x k=x时,执行 d [ i ] [ j ] = m i n ( d [ i ] [ j ] , d [ i ] [ k ] + d [ k ] [ j ] ) 得 d [ i ] [ j ] d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]) 得d[i][j] d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])d[i][j]

样例2

与样例1相似,只是这次我们求出从每一个点到其他点的最短距离和路径,每条边的红色数字代表这条边的长度。


Demo代码

from collections import defaultdict 
from heapq import * 
import numpy as np
inf = 99999 # 不连通值 
mtx_graph = [[0, 1, inf, 3, inf, inf, inf, inf, inf],
             [1, 0, 5, inf, 2, inf, inf, inf, inf],
             [inf, inf, 0, 1, inf, 6, inf, inf, inf],
             [inf, inf, inf, 0, inf, 7, inf, 9, inf],
             [inf, 2, 3, inf, 0, 4, 2, inf, 8],
             [inf, inf, 6, 7, inf, 0, inf, 2, inf],
             [inf, inf, inf, inf, inf, 1, 0, inf, 3],
             [inf, inf, inf, inf, inf, inf, 1, 0, 2], 
             [inf, inf, inf, inf, 8, inf, inf, 2, 0]]
def Floyd(graph): 
    N=len(graph) 
    A=np.array(graph)
    path=np.zeros((N,N)) 
    for i in range(0,N): 
        for j in range(0,N): 
            if A[i][j]!=inf: 
                path[i][j]=j 
    for k in range(0,N): 
        for i in range(0,N): 
            for j in range(0,N):
                # 原PPT这一句代码有错 写成了 A[i][j]+A[k][j]<A[i][j]
                # 正确应该是:A[i][k]+A[k][j]<A[i][j]
                if A[i][k]+A[k][j]<A[i][j]: 
                    A[i][j]=A[i][k]+A[k][j] 
                    path[i][j]=path[i][k]
    for i in range(0,N): 
        for j in range(0,N): 
            path[i][j]=path[i][j]+1 
    print('距离 = ') 
    print(A) 
    print('路径 = ') 
    print(path) 

Floyd(mtx_graph)

运行结果

注意:原PPT 结果中 最后一行又错 应该是 5. 5. 8. 8. 5. 8. 8. 8. 9. PPT中是: 5. 5. 7. 7. 5. 7. 7. 8. 9. 因为在最初的 mtx_graph 设置就错了:点9到点7 应该是inf 而不是 3

结论:

  • 从点1 到 点9 的距离为8(结果中“距离”矩阵中第一行第九列数值)
  • 路径为【1 - 2 - 5 - 7 - 9】

怎么看路径呢?

  • 从最后结果中查看”路径“矩阵
  • 点1 到 点9 首先看第一行第九列 数值为2
  • 这是中间位置2,再看第二行第九列,数值为5
  • 再看第五行第九列,数值为7
  • 再看第七行第九列,数值为9
  • 得到最终路径【1 - 2 - 5 - 7 - 9】

3 机场航线设计

数据集来自航空业,有一些关于航线的基本信息。有某段旅程的起始点和目的地。还有一些列表示每段旅程的到达和起飞时间。这个数据集非常适合作为图进行分析。想象一下通过航线(边)连接的几个城市(节点)。

如果你是航空公司,你可以问如下几个问题:

  • 从A到B的最短途径是什么?分别从距离和时间角度考虑。
  • 有没有办法从C到D?
  • 哪些机场的交通最繁忙?
  • 哪个机场位于大多数其他机场“之间”?这样它就可以变成当地的一个中转站。

0、Airlines.csv数据

1、数据导入、观察变量

import numpy as np 
import pandas as pd 
data = pd.read_csv('../Profile/Airlines.csv') 
data.shape #数据大小 

# (100, 16) 100行16列

运行结果

查看各个变量的类型

data.dtypes # 各变量的类型

运行结果

2、数据清洗

#将sched_dep_time转换为'std'—预定的出发时间 
data['std'] = data.sched_dep_time.astype(str).str.replace('(\\d{2}$)', '') + ':' + data.sched_dep_time.astype(str).str.extract('(\\d{2}$)', expand=False) + ':00'
 
#将sched_arr_time转换为“sta”—预定到达时间
data['sta'] = data.sched_arr_time.astype(str).str.replace('(\\d{2}$)', '') + ':' + data.sched_arr_time.astype(str).str.extract('(\\d{2}$)', expand=False) + ':00'
 
#将dep_time转换为'atd' -实际出发时间 
data['atd'] = data.dep_time.fillna(0).astype(np.以上是关于Python数学建模系列:图论的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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