CodeForces - 468C Hack it!(构造+数位dp)

Posted 2021-09-11 Frozen_Guardian

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题目大意：求出一段区间 $[l,r]$ 的数位和对 $a$ 取模后为 $0$。更具体的，设 $f(x)$ 为 $x$ 的数位和，本题需要求出一对 $[l,r]$ ，满足 $\sum _{i=l}^{r}f(i)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a)$

题目分析：假设一个上界为 $inf=10^k$，则一个数为 $x$ 且 $x<inf$ 时显然满足 $f(x+inf)=f(x)+1$

令 $solve(l,r)=\sum _{i=l}^{r}f(i)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a)$，那么 $solve(1,inf)=p$

此时如果左右区间同时加一，得到 $solve(2,inf+1)=solve(1,inf)-f(1)+f(1+inf)=p+1$

如此递推下去不难看出 $solve(1+k,inf+k)\equiv p+k$

所以令 $k=a-solve(1,inf)$ 就构造出一组答案为 $[1+k,inf+k]$ 了

因为 $a$ 的上限只有 $1e18$，所以取 $inf=1e18$ 就可以了，当然更大的十的幂次也是可以的

最后 $solve(1,1e18)$ 可以直接用数位 dp 求解

代码：

// Problem: Hack it!
// Contest: Virtual Judge - CodeForces
// URL: https://vjudge.net/problem/CodeForces-468C
// Memory Limit: 262 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
const LL M=1e18;
LL mod;
LL dp[70][200][2];
int b[70],cnt;
LL dfs(int pos,int sum,bool limit) {
	if(pos==-1) return sum;
	if(dp[pos][sum][limit]!=-1) return dp[pos][sum][limit];
	int up=limit?b[pos]:9;
	LL ans=0;
	for(int i=0;i<=up;i++) ans=(ans+dfs(pos-1,sum+i,limit&&i==up))%mod;
	return dp[pos][sum][limit]=ans;
}
LL solve(LL x) {
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	cnt=0;
	while(x) {
		b[cnt++]=x%10;
		x/=10;
	}
	return dfs(cnt-1,0,1);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	read(mod);
	LL k=mod-solve(M);
	printf("%lld %lld\\n",1+k,M+k);
	return 0;
}