[CodeChef Jump]Jump mission

Posted 2021-09-11 StaroForgin

Jump mission

题解

简单树套树。

首先看到这道题，我们很容易想到$dp$。
设$d{p}_i$表示选择跳到了第$i$座山时总的消耗能量的最小值，容易得到$dp$转移式，
$$d{p}_i=\underset{j<i\wedge p_j<p_i}{\min }\left(d{p}_j+(h_i-h_j{)}^2+a_i\right)=\underset{j<i\wedge p_j<p_i}{\min }\left(d{p}_j+h_j^2-2h_i{h}_j\right)+h_i^2+a_i$$
很明显，括号中间的式子是一个一次函数，我们可以考虑通过李超线段树对其进行维护。
但外面要同时满足两个要求，我们该怎么处理呢？
树套树，我们可以同时给外面加一个树状数组，维护$p$的区间内的函数。
当然，这样就要动态开点了。
查询就查询前缀区间的每棵树上该位置的最大值。

时间复杂度显然是$O\left(n{\log }^{2}n\right)$。

源码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define MAXN 300005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const LL INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mo=1e9+7;
const int inv2=499122177;
const int jzm=2333;
const int zero=10000;
const int lim=30000;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-5;
typedef pair<LL,LL> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1LL)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1LL;}return t;}
int n,tot,root[MAXN],totb;LL dp[MAXN],p[MAXN],a[MAXN],h[MAXN],ans,b[MAXN];
struct line{
	LL k,b;line(){k=0;b=INF;}
	line(LL K,LL B){k=K;b=B;}
	LL ask(int x){return 1ll*x*k+b;}
};
struct node{int lson,rson;line p;}tr[MAXN*200];
void modify(int &rt,int l,int r,line aw){
	int mid=l+r>>1;if(!rt)rt=++tot;
	if(aw.ask(b[mid])<tr[rt].p.ask(b[mid]))swap(aw,tr[rt].p);if(l==r)return ;
	if(aw.ask(b[l])<tr[rt].p.ask(b[l]))modify(tr[rt].lson,l,mid,aw);
	if(aw.ask(b[r])<tr[rt].p.ask(b[r]))modify(tr[rt].rson,mid+1,r,aw);
}
LL query(int rt,int l,int r,int ai){
	if(l>r||l>ai||r<ai)return INF;int mid=l+r>>1;
	LL res=tr[rt].p.ask(b[ai]);if(l==r)return res;
	if(ai<=mid)res=min(res,query(tr[rt].lson,l,mid,ai));
	if(ai>mid)res=min(res,query(tr[rt].rson,mid+1,r,ai));
	return res;
}
void insert(int pos,line p){while(pos<=n){modify(root[pos],1,totb,p);pos+=lowbit(pos);}}
LL ask(int pos,LL x){
	int t=lower_bound(b+1,b+totb+1,x)-b;LL res=INF;
	while(pos){res=min(res,query(root[pos],1,totb,t));pos-=lowbit(pos);}
	return res;
}
signed main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(p[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);dp[1]=a[1];
	for(int i=1;i<=n;i++)read(h[i]),b[++totb]=h[i];
	sort(b+1,b+totb+1);totb=unique(b+1,b+totb+1)-b-1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(i>1)dp[i]=ask(p[i],h[i])+a[i]+h[i]*h[i];
		insert(p[i],line(-h[i]-h[i],dp[i]+h[i]*h[i]));
	} 
	printf("%lld\\n",dp[n]);
	return 0;
}

谢谢！！！