剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

Posted 2021-09-11 炫云云

剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：
$$\begin{gathered} F(0)=0,F(1)=1 \\ F(N)=F(N-1)+F(N-2),其中N>1. \end{gathered}$$

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

动态规划

创建长度为n+1的数组dp,令dp[0]=0,dp[1]=1。除前两项外，数组中某项的值为其前两项的和，据此由前到后依次求出各项的值，最后一项即为所求

class Solution(object):
    def fib(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n <= 0:
            return 0
        F0 = 0
        F1 =1
        for _ in range(1,n):
            F1 , F0 = F0+F1, F1
        return  F1%1000000007

递归

通常情况下，递归是一种直观而有效的实现算法的方法。 但是，如果我们不明智地使用它，可能会给性能带来一些不希望的损失，例如重复计算。提出一种常用的技术，称为记忆化（memoization），可以用来避免这个问题。

基本函数：

def fib(self, n):
    """
    :type n: int
    :rtype: int
    """
    if n <2:
        return n
    else:
        return (fib(n-1) +fib(n-2)) %1000000007

例如F(4)的计算：
$$F(4)=F(3)+F(2)=(F(2)+F(1))+F(2)$$
为了得到 f (4)的结果，需要在上述推导之后计算两次数 F(2) : 第一次在 F(4) 的第一次展开中，第二次在中间结果 F(3) 中。

下面的树显示了在计算 F(4) 时发生的所有重复计算（按颜色分组）。

• 复杂度

上面是递归的执行树，这是一个用于表示递归函数的执行流程的树。树中的每个节点都表示递归函数的调用。因此，树中的节点总数对应于执行期间的递归调用的数量。

在 n 层的完全二叉树中，节点的总数为 $2^n-1$。因此 f(n) 中递归数目的上限（尽管不严格）也是 $2^n-1$。那么我们可以估计 $f(n)$ 的时间复杂度为 $\mathcal{O}(2^n)$。

记忆化

为了消除上述情况中的重复计算，正如许多人已经指出的那样，其中一个想法是将中间结果存储在缓存中，以便我们以后可以重用它们，而不需要重新计算。

这个想法也被称为记忆化，这是一种经常与递归一起使用的技术。

对于$F(n)$​，可以使用哈希表来建立$n:F(n)$,保存之前的结果，可以避免重复计算。 记忆化技术是一个很好的例子，它演示了如何通过增加额外的空间以减少计算时间。

代码：

def fib(self, n):
    """
    :type n: int
    :rtype: int
    """
    hanshi = {}
    def rnn_fib(N):
        if n in hanshi[n]:
            return hanshi[n]
        if n<2:
            result = n
        else:
            result = rnn_fib(n-1) +rnn_fib(n-2)
        hanshi[n] = result
        return result
    return  rnn_fib(n)

通过记忆化技术，我们保存每个索引 n 对应的的斐波那契数的结果。我们确信每个斐波那契数的计算只会发生一次。而从递推关系来看，斐波纳契数 f(n) 将取决于其所有 n-1 个先验斐波纳契数。结果，计算 f(n) 的递归将被调用 n-1 次以计算它所依赖的所有先验数字。

时间复杂度，即 $\mathcal{O}(1)\ast n=\mathcal{O}(n)$。

非递归相关空间

正如名称所示，非递归相关空间指的是与递归过程没有直接关系的内存空间，通常包括为全局变量分配的空间（通常在堆中）。

不管是否递归，你都可能需要在任何函数调用之前将问题的输入存储为全局变量。你可能还需要保存递归调用的中间结果。后者就是记忆化技术。例如，使用映射（map）来跟踪在递归调用期间产生的所有中间斐波那契数。因此，在分析空间复杂度时，应该考虑到因采用记忆化技术所导致的空间成本。

参考

还需要保存递归调用的中间结果。后者就是记忆化技术。例如，使用映射（map）来跟踪在递归调用期间产生的所有中间斐波那契数。因此，在分析空间复杂度时，应该考虑到因采用记忆化技术所导致的空间成本。

参考

Krahets - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)