剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

Posted 2021-09-11 炫云云

剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：2

示例 2：

输入：n = 7
输出：21

示例 3：

输入：n = 0
输出：1

提示：

0 <= n <= 100

动态规划

用 $f(x)$ 表示爬到第 $x$ 级台阶的方案数，考虑最后一步可能跨了一级台阶, 也可能跨了两级台阶, 所以可以列出如下式子:
$$f(x)=f(x-1)+f(x-2)$$
它意味着爬到第 $x$ 级台阶的方案数是爬到第 $x-1$ 级台阶的方案数和爬到第 $x-2$ 级台阶的方案数的和。很 好理解, 因为每次只能爬 1 级或 2 级, 所以 $f(x)$ 只能从 $f(x-1)$ 和 $f(x-2)$ 转移过来, 而这里要统计方案 总数，就需要对这两项的贡献求和。

以上是动态规划的转移方程, 下面讨论边界条件。从第 0 级开始爬的，所以从第 0 级爬到第 0 级可以看作只有1种方案, 即 $f(0)=1;$ 从第 0 级到第 1 级也只有一种方案, 即爬一级, $f(1)=1_{}$ 。这 两个作为边界条件就可以继续向后推导出第 $n$ 级的正确结果。

根据转移方程得 到 $f(2)=2,f(3)=3,f(4)=5,\dots \dots$, 把这些情况都枚举出来，发现计算的结果是正确的。

class Solution(object):
    def numWays(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n <=1:
            return 1
        if n ==2:
            return 2
        f1 , f2 = 1, 2
        for _ in range(2,n):
            f2 , f1 = f1+f2, f2
        return f2%1000000007
        

变态跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路：$n=0$时,$f(n)=0$；$n=1$时,$f(n)=1$；$n=2$时,$f(n)=2$；假设到了$n$级台阶，我们可以$n-1$级一步跳上来，也可以不经过$n-1$级跳上来，所以$f(n)=2\ast f(n-1)$。

推公式也能得出：

$n=n$时：$f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1))+f(n-n)=f(0)+f(1)+f(2)+...+f(n-1)$

由于$f(n-1)=f(0)+f(1)+f(2)+...+f((n-1)-1)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-2)$

所以$f(n)=f(n-1)+f(n-1)=2\ast f(n-1)$

class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        if number <= 0:  return 0
        if number == 1: return 1
        if number == 2: return 2
        result = [1,2]
        for i in range(2,number):
            result.append(2*result[-1])
        return result[-1]

参考

Krahets - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)