Acwing202. 最幸运的数字

Posted 2021-09-10 Jozky86

Acwing202. 最幸运的数字

题意：

现在给定一个正整数 L，请问至少多少个 8 连在一起组成的正整数（即最小幸运数字）是 L 的倍数。

题解：

x个8连在一起组成的正整数可写作$8(10^x-1)/9$。现在要求一个最小的x，满足$L|\frac{8(10^x-1)}{9}$.
$L|\frac{8(10^x-1)}{9}$=$9L|8(10^x-1)$
我们设d=gcd(L,8)
有：gcd(L/d,8/d)=1
说明8/d与L/d互质
8(10^x-1)是9L的质数，有$\frac{9L}{d}|\frac{8}{d}(10^x-1)$
因为8/d与L/d互质，所以$\frac{9L}{d}|(10^x-1)$
再推导有：$10^x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{9L}{d})$
引理：
若正整数a,n互质，则满足$a^x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$的最小正整数x0是$\varphi (n)的约数$
所以我们只需要求出欧拉函数$\varphi (\frac{9L}{d})$，枚举它的所有约数，用快速幂判断是否符合条件即可。时间复杂度是$O(\sqrt{L}\log L)$
时间没问题，但是注意，你的longlong会被下面数据爆掉，所以要用到一个小技巧，叫龟速乘

1999999999
1213131311
1242342334
0

龟速乘其实就是把快速幂中乘法部分展开，将乘法转成加法做，每次运算都取mod，这样就不会爆

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#define debug(a, b) printf("%s = %d\\n", a, b);
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
clock_t startTime, endTime;
//Fe~Jozky
const ll INF_ll= 1e18;
const int INF_int= 0x3f3f3f3f;
void read(){};
template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar)
{
    x= 0;
    char c= getchar();
    bool flag= 0;
    while (c < '0' || c > '9')
        flag|= (c == '-'), c= getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9')
        x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();
    if (flag)
        x= -x;
    read(Ar...);
}
template <typename T> inline void write(T x)
{
    if (x < 0) {
        x= ~(x - 1);
        putchar('-');
    }
    if (x > 9)
        write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
void rd_test()
{
#ifdef LOCAL
    startTime= clock();
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif
}
void Time_test()
{
#ifdef LOCAL
    endTime= clock();
    printf("\\nRun Time:%lfs\\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
}
ll mul(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ans= 0;
    while (b) {
        if (b & 1)
            ans= (ans + a) % mod;
        a= (a + a) % mod;
        b>>= 1;
    }
    return ans;
}
ll poww(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ans= 1;
    while (b) {
        if (b & 1)
            ans= mul(ans, a, mod) % mod;
        a= mul(a, a, mod) % mod;
        b>>= 1;
    }
    return ans % mod;
}
ll phi(ll n)
{
    ll ans= n;
    for (int i= 2; i <= sqrt(n); i++) {
        if (n % i == 0) {
            ans= ans / i * 1ll * (i - 1);
            while (n % i == 0)
                n/= i;
        }
    }
    if (n > 1)
        ans= ans / n * 1ll * (n - 1);
    return ans;
}
int main()
{
    //rd_test();
    ll l;
    int cas= 0;
    while (cin >> l) {
        if (l == 0)
            break;
        ll mod= l / __gcd(8ll, l) * 9ll;
        ll p= phi(mod);
        ll ret= 1e18;
        for (ll x= 1; x <= sqrt(p); x++) {
            if (p % x != 0)
                continue;
            if (poww(10, x, mod) == 1)
                ret= min(ret, x);
            if (poww(10, p / x, mod) == 1)
                ret= min(ret, p / x);
        }

        printf("Case %d: ", ++cas);
        printf("%lld\\n", ret == 1e18 ? 0 : ret);
    }
    return 0;
    //Time_test();
}