分治，分而治之

Posted 2021-09-10 SG_teresa

分治思想是一种追求高效率的算法思想。

基本概念

分治，分而治之，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这种朴素的思想来源于人们生活与工作的经验，也完全适用于技术领域。

适用条件

1、问题的规模缩小到一定的规模就可以较容易地解决。

2、问题可以分解为相同类型的子问题，具有最优子结构性质。

3、合并问题分解出的子问题的解可以得到问题的解。

4、问题所分解出的各个子问题之间是独立的，即子问题之间不存在公共的子问题。当然也可以有，但是会降低效率，在出现众多重复子问题的时候常使用动态规划dp。

例题分析

题目题干：

给定一个正整数，求出该数的所有的划分方式。

比如4的划分方法为：4，4=1+3，4=1+1+2，4=2+2，4=1+1+1+1

PS：1+3=4，3+1=4被认为是同一种划分方案

Input

输入需要划分的数字和最大加数，均为正整数。

Output

输出一个正整数，表示划分总数。

解题思路：

对整数进行划分，可以马上想到分治，既然是分治，就要找子问题。假设n是要划分的数，m是最大的加数，n=4，m=3。

将原问题分解成两类子问题，一类是有m的情况，另一类是没有m的情况。然后将有m的情况继续划分，分解成有m-1和没有m-1的情况，一直划分下去，直到m=1。

比如n=4，m=3，划分成的子问题：有3，无3，有2，无2，有1，无1，将这些子问题逐个击破后再合并就能解决大的问题了。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int devide(int n, int m) // n表示需要划分的数字，m表示最大的加数不超过m
{
    if(m==1 || n==1) // 若需要划分的数字为1，那么划分的方法数只有一种
    {
        return 1;
    }
    
	else if(n==m && n>1) // 二者相等且大于1的时候，需要让m-1，函数递归后加一 ，转换成n>m的情况 
    {
        return devide(n,n-1)+1;
    }
    
	else if(n<m) // 如果n<m,那么令m=n就行，因为最大加数在逻辑上不可能超过n
    {
        return devide(n,n);
    }
    
	else if(n>m)
    {
        return devide(n,m-1)+devide(n-m,m); // 分为两种：划分方案没有m的情况和划分方案有m的情况
    }
    return 0;
}

int main()
{
    cout<<"请输入需要划分的数字和最大加数："<<endl;
    int n, m;
    cin>>n>>m;
    
    int a=devide(n,m);
    cout<<a<<endl;
    return 0;
}