矩阵快速幂模板

Posted 2021-09-10 hesorchen

前置知识

矩阵

矩阵是一个$n\times m$的阵列，下面是一个$3\times 3$的矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ & & \\ 0& 1& 0\\ & & \\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

矩阵乘法

若矩阵A的大小为$n\times m$ ，另一矩阵B的大小为$m\times p$，则两个矩阵可以做乘法，得到的矩阵C大小为$n\ast p$。具体的乘法规则如下：

矩阵A：
$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ & & \\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right]$

矩阵B：
$\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ & \\ b_{21}& b_{22}\\ & \\ b_{31}& b_{32}\end{array}\right]$

相乘得到矩阵C：
$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}\times b_{11}+a_{12}\times b_{21}+a_{13}\times b_{31}& a_{11}\times b_{12}+a_{12}\times b_{22}+a_{13}\times b_{32}\\ & \\ a_{21}\times b_{11}+a_{22}\times b_{21}+a_{23}\times b_{31}& a_{21}\times b_{12}+a_{22}\times b_{22}+a_{23}\times b_{32}\end{array}\right]$

C++代码实现矩阵乘法:

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= n; j++)
        for (int k = 1; k <= n; k++)
            C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];

性质：

1. 矩阵乘法不满足交换律，但是满足结合律。即$(AB)C=A(BC)$。

2. 单位矩阵：单位矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。根据单位矩阵的特点，任何矩阵与单位矩阵相乘都等于本身。

3. 零矩阵：零矩阵即所有元素皆为0的矩阵。

矩阵快速幂

类似于快速幂用于加速乘法，矩阵快速幂用于加速矩阵乘法。我们可以将$O(n)$的乘法优化到$O(logn)$。

可以对比一下快速幂与矩阵快速幂：

long long quick_pow(long long a, long long b)//快速幂
{
    long long res = 1; //1
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res = res * a;
        b /= 2;
        a = a * a;
    }
    return res;
}

Matrix quick_multi(Matrix a, int t) //矩阵快速幂
{
    Matrix res; //单位矩阵
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        for (int j = 1; j <= N; j++)
            res.M[i][j] = (i == j);
    while (t)
    {
        if (t & 1)
            res = multi(res, a);
        t /= 2;
        a = multipoj 3070 Fibonacci (矩阵快速幂乘/模板)

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