数据结构与算法学习笔记

Posted 2021-09-09 临风而眠

数据结构与算法学习笔记(2):算法与算法分析

本系列笔记为跟着B站上王卓老师的教程学习所记录的笔记

一.算法基本概念

二.算法效率

• 算法效率的度量

• 算法效率的度量通过时间复杂度和空间复杂度来描述

1.算法时间效率的度量

​ 每条语句的执行次数也成为每条语句频度

注：

因为与算法无关，所以评估算法时:

这样就可以独立于不同软硬件环境来分析算法的时间性能

例:矩阵乘法

第一行代码 1~n是n次，但是最后还要判断一次是否满足i<=n,判断出来不满足，但语句本身还是执行了
第二行代码 外循环for(i=1;i<=n;i++) 成功执行n次，而 for(j=1;j<=n;j++)每经历一次外循环,自己都要执行n+1次(加的1是最后一次判断)
第三行代码 for(i=1;i<=n;i++) 成功执行n次,其中每一次for(j=1;j<=n;j++)都会成功执行n次
第四行代码 前面的两层循环n*n次,而每次它自己要n+1次
第五行代码 前面的三层循环n*n*n次

2.时间复杂度

定义

​ T(n)的数量级

例:矩阵乘法时间复杂度分析(上面的例子)

显然，我们只要考虑n的次数最高的项，所以不必考虑所有操作的执行次数

基本语句

找出基本语句

• 算法中重复执行次数和算法执行时间成正比的语句
• 对算法运行时间的贡献最大
• 执行次数最多

问题规模n

​ 描述处理的数据量

3.计算时间复杂度

步骤:

• 找出语句频度最大的语句作为基本语句
• 计算基本语句的频度得到问题规模n的某个函数f(n)
• 取其数量级用符合"O"表示

例1

​ $T(n)=O(n^2)$

例2

例3

​ 矩阵乘法

▲例4

▲例5

​ 对数级

输入数据集的影响

​ 算法基本操作的执行次数有时不仅与问题规模n有关，还与输入的数据集有关

例

• 如果第一个就是e，那么循环只要执行1次
• 如果最后一个是e，就要n次

​ 平均$\frac{n}{2}$次

最坏时间复杂度

​ 一般考虑前两个，但有时候平均时间复杂度比较难算

复杂算法时间复杂度的计算

• 加法规则，乘法规则

4.算法时间效率的比较

• 当问题规模n很大时，指数时间算法和多项式时间算法在所需时间上相差巨大

• 时间复杂度T(n)按数量级递增顺序如下:

5.算法空间效率的度量

①空间复杂度

• 即算法所需存储空间的度量
• 记作$S(n)=O(f(n))$,其中$n$为问题规模

②算法要占据的空间

• 算法本身占据的空间：输入/输出，指令，常数，变量等
• 算法要使用的辅助空间

例

​ 算法1依次头尾交换,t开辟的就是临时辅助空间

$S(n)=O(1)$，原地工作,是常数阶，只用了t一个临时变量，空间与循环中$n$的大小无关

​ 算法2开辟了一个新数组

$S(n)=O(n)$，是一次阶

故算法1比算法2的空间效率高

三.算法设计过程总结

分析时间复杂度、空间复杂度，选出好的算法