数列前n项和都有哪些求法？

Posted 2023-03-02

1、公式法求和
（1）等差数列
(2)等比数列q=i和q≠1
（3）几个常见数列的前n项和：①1+2+3+…+n＝［n（n＋1）］／2
②1＾2＋2＾2＋3＾2+…+n＾2＝［n（n＋1）（2n＋1）］／6
③1＾3＋2＾3＋3＾3＋…+n＾3＝［n（n＋1）］＾2／4
2、倒叙相加法：将一个数列倒过来排列（反序），当它与原来数列对应相加时，如有公因式可提，并且剩余项的和易于求得则可用此法，它是等差数列求和公式的推广。
3、错位相减法（推导等比数列的前n项和公式时所用的方法）
4、裂项相消法：前提是数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，一般形如1/a（n+1）an（其中an是等差数列）的数列可用此法。常用裂项技巧有：（1）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)](2)1/(√(n+k)+√n)=1/k[√(n+k)-√n]
(3)1/[(2n+1)(2n-1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(4)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
5、分组转化求和：有一类数列，既不是等差，也不是等比，但若把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，就能转化为等差或等比，从而利用等差、等比数列的求和公式解决。 参考技术A 常用的，有两种：（这两个方法，教科书上都有）
一是，等差数列求和方法：倒写相加法
其次，等比数列求和方法：错位相减法
后者用的很多，不仅仅局限于等比数列求和，还适用于一个等差数列乘以一个等比数列构成的新数列的和，即an*bn，其中an是等差数列，公差是d，bn是等比数列，公比是q，
那么an*bn的前n项和
Sn
=
a1*b1
+
a2*b2
+
...
+
an*bn，只要两边同乘以q，
q*Sn
=
a1*b1*q
+
a2*b2*q
+
...
+
an*bn*q
=
a1*b2
+
a2*b3
+
...
+
an*b(n+1)
两式错位相减得
(1-q)*Sn
=
a1*b1
+
d*(b2
+
b3
+
...
+
bn)
-
an*b(n+1)
=
...
后面的应该会了 参考技术B (一）
等差数列的前n项和(分组求和)sn
＝（1＋1）＋[a^(-1)+4]＋[a^(-2)+7]＋……＋[a^(1-n)+(3n-2)]
＝[1＋a^(-1)+a^(-2)＋……＋a^(1-n)]
+
[1＋4＋7+……＋(3n-2)]
前者为等比数列，公比为a^(-1)
后者为等差数列，公差为3
=[1-a^(-n)]/(1-a)+[1+(3n-2)]*n/2
=[1-a^(-n)]/(1-a)+(3n-1)n/2
(裂项法求和
)
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
通项分解（裂项）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n!
[例]
求数列an=1/n(n+1)
的前n项和.
解：设
an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂项）
则
sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
＝
1-1/(n+1)
＝
n/(n+1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意：
余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。（二）(1)
等比数列：a
(n+1)/an=q
(n∈n)。
(2)
通项公式：an=a1×q^(n-1)；
推广式：an=am×q^(n-m)；
(3)
求和公式：sn=n×a1
(q=1)
sn=a1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-an×q)/(1-q)
(q≠1)
(q为公比，n为项数）