第二类斯特林数

Posted 2021-09-09 hesorchen

第二类斯特林数

OI Wiki 斯特林数：记做$S(n,m)$，表示将$n$个两两不同的元素，划分为$m$个互不区分的非空子集的方案数。

考虑第m个物品。将该物品放进新的一个集合中，方案数为$S(n-1,m-1)$。将该物品放进原有的集合中，方案数为$S(n-1,m)\ast m$。两者相加即可。

递推式： $S(n,m)=S(n-1,m-1)+S(n-1,m)\ast m$

也可由容斥原理得到通式：$\frac{1}{m!}{\sum }_{k=0}^m(-1{)}^k{C}_m^k(m-k{)}^n$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e3 + 5;
long long S[N][N];
void INIT_S()
{
    for (int i = 1; i < N; i++)
        S[i][1] = S[i][i] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++)
        for (int j = 2; j <= i; j++)
            S[i][j] = S[i - 1][j - 1] + S[i - 1][j] * j;
}
int main()
{
    INIT_S();
    return 0;
}