HDOJ6955Xor sum（异或前缀和，01字典树）

Posted 2021-09-09 小哈里

1006 Xor sum

题意：

• 给出一个长度为n的序列，求一个最短连续子序列满足异或和大于等于k。n<1e5。

思路：

• 参考CF665E，求序列a中有多少个异或和大于等于k的子序列，枚举所有的子序列，维护最小长度即可。
• 首先因为区间异或和，且异或满足性质a^b^a==b，所以可以想到异或前缀和，s[l~r] = s[r]^s[l-1]。
• 因为01字典树可以查找树中与x异或后最大的值，所以维护异或前缀和的01字典树。此时枚举靠右的那个数，字典树每次保存范围内最靠右的点的位置。
• 字典树每次查找的时候，由高位到低位考虑每位，令字典树的与R异或后的前 i-1 位与 k值相等（以此往下走），直到第i位往大于等于k的方向走，此时提取出每个大于等于k的存在的L，更新每个合法区间的最短即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 3e6+10;
int a[maxn], s[maxn];

int tot=1, tree[maxn][2], mx[maxn];
void init(){
	tot = 1;
	tree[1][0] = tree[1][1] = 0;
	mx[1] = -1;
}
void insert(int x, int l){ //插入节点
	int u=1;
	for(int i = 30; i >= 0; i--){
		int c1=(x>>i)&1;   //取出每一位
		if(!tree[u][c1]){  //新建节点
			tree[u][c1] = ++tot;
			tree[tot][0] = tree[tot][1] = 0;
			mx[tot] = -1;
		}
		u = tree[u][c1];
		mx[u] = max(mx[u], l);//维护到u为止最靠右的左端点
	}
}
int query(int x, int k){//查找对于给定r且满足sum[l,r]>=k的最大l
	int u = 1, tmpl = -1;
	for(int i = 30; i >= 0; i--){
		int c1=(x>>i)&1, c2=(k>>i)&1;
		if(c2==1)u = tree[u][c1^1];//因为必须大于等于k，k==1，所以树里的L走与R相反的，异或后等于1。
		else{
			if(tree[u][c1^1]){//k为0，如果异或后==1存在，那么更新该答案（更新后继续走相等的分支去统计其他答案）
				tmpl = max(tmpl, mx[tree[u][c1^1]]);
			}
			u = tree[u][c1];//否则继续按照和k相等的路走下去
		}
	}
	if(u)tmpl = max(tmpl, mx[u]);
	return tmpl;
}

int main(){
	//freopen("input.txt","r",stdin);
	ios::sync_with_stdio(false);
	int T;  cin>>T;
	while(T--){
		init();
		int n, k;  cin>>n>>k;
		int ansl=-1, ansr=n;
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			cin>>a[i];  a[i] ^= a[i-1];
			int tmpl = query(a[i], k);
			if(tmpl>=0 &&i-tmpl<ansr-ansl)ansl=tmpl,ansr=i;
			insert(a[i], i);
		}
		if(ansl >= 0)cout<<ansl+1<<" "<<ansr<<"\\n";
		else cout<<"-1\\n";
	}
	return 0;
}