CodeForces - 1560F2 Nearest Beautiful Number (hard version)(二分+数位dp)

Posted 2021-09-08 Frozen_Guardian

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题目大意：给出一个十进制数字 $n$ 和一个约束 $k$，问大于等于 $n$ 且满足不同的数位个数小于等于 $k$ 的最小的数字是多少

题目分析：自己写的贪心太丑了，就不放上来丢人了

偷的杨大佬的trick，对于某个数字 $x$，如果可以快速求出区间 $[1,x]$ 中有多少个数字满足不同的数位个数小于等于 $k$ 的话，显然这个答案是具有单调性的

考虑二分答案，然后用数位dp快速求解这个过程，$dp[pos][state][k]$ 记忆化一下到了第 $pos$ 位置，当前不同的数位状态为 $state$，小于等于 $k$ 的方案数。这里的 $state$ 是一个 $[0,2^{10}]$ 的数，也就是状压了一下状态

虽然时间复杂度看起来很不可观，但是据杨大佬的经验所述，均摊下来的时间复杂度为 $O(很快)$

代码：

// Problem: F2. Nearest Beautiful Number (hard version)
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #739 (Div. 3)
// URL: https://codeforces.com/contest/1560/problem/F2
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
int dp[15][(1<<10)+10][10];
int b[15],cnt,k;
inline int count(int x) {
	return __builtin_popcount(x);
}
int dfs(int pos,int state,int limit,int lead) {
	if(pos==-1) {
		return count(state)<=k;
	}
	if(dp[pos][state][k]!=-1&&!limit&&!lead) {
		return dp[pos][state][k];
	}
	int up=limit?b[pos]:9;
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=up;i++) {
		if(lead&&i==0) {
			ans+=dfs(pos-1,state,limit&&i==up,1);
		} else {
			ans+=dfs(pos-1,state|(1<<i),limit&&i==up,0);
		}
	}
	if(!limit&&!lead) {
		dp[pos][state][k]=ans;
	}
	return ans;
}
int solve(LL x) {
	cnt=0;
	while(x) {
		b[cnt++]=x%10;
		x/=10;
	}
	return dfs(cnt-1,0,1,1);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	int w;
	cin>>w;
	while(w--) {
		int n;
		read(n),read(k);
		int cur=solve(n-1);
		LL l=n,r=2e9,ans=-1;
		while(l<=r) {
			LL mid=(l+r)>>1;
			if(solve(mid)-cur>=1) {
				ans=mid;
				r=mid-1;
			} else {
				l=mid+1;
			}
		}
		printf("%lld\\n",ans);
	}
	return 0;
}