那些神题和它的改编消失的数字IIIIIIIV（全系列，干货满满）

Posted 2021-09-08 白龙码~

消失的数字

• Part I、消失的数字 I
• Part II、消失的数字 II
• • 方法一：求差
  • 方法二：异或法
• Part III、消失的数字 III
• Part IV、消失的数字 IV
• Part V、检验自己

Part I、消失的数字 I

给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。
说明：
你的算法应该具有线性时间复杂度。 你可以不使用额外空间来实现吗？

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O(n)的时间复杂度，O(1)的空间复杂度，这意味着我们只能遍历数组常数次，而且，最好使的哈希现在也不香了。
如何做到呢？
答案是：使用位运算异或

首先回顾一下异或的一些基本特性：

异或的规则是：对应二进制位相同为0，不同为1；

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也就是说，两个相同的数异或得到0，并且任何数和0异或得到的还是这个数本身（这是解决本题的根本思想）；

同时，异或遵循交换律和分配律，也就是说：a^b^c=a^c^b;

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那么根据这个特性，我们可以知道：如果我们把数组中所有的数都异或起来，得到：nums[0]^nums[1]…^nums[size-1]
由于异或满足交换律，那么我们让两两相同的数字异或，必然会得到零（满足上述特性）。我们把那个出现一次的数记为aim，那么经过异或就得到：0^0^……^aim^……^0 = aim

代码实现：

class Solution {
public:
    int singleNumber(vector<int>& nums) {
        int ret = 0;//0和任何数异或都是那个数本身，所以初始值设为0
        for(auto e : nums)
        {
            ret ^= e;//让ret和所有的数组元素异或
        }
        return ret;//根据上文推论，异或得到的结果就是只出现一次的数
    }
};

Part II、消失的数字 II

本题改编自上题：

数组nums包含从0到n的所有整数，但其中缺了一个。请完成下面的这个函数，以找出那个缺失的整数。你有办法在O(n)时间内完成吗？

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本题的数组的特点是：元素时0~n的数字，但缺少了其中一个，让我们找到他。怎么做呢？

方法一：求差

这个方法非常的简单好懂：拿前n项和与数组元素的和作差，得到的就是缺少的那个数。

int missingNumber(int* nums, int numsSize){
    int sum = 0, i;
    for(i = 0; i < numsSize; i++){
        sum  += nums[i];
    }
    return ((numsSize * (1 + numsSize))/2) - sum;
}

但是这种写法带来的问题就是：大概率会溢出（尤其是在当今oj普遍测试样例比较bt的情况下）。

追求效率，何不考虑一下位运算？

方法二：异或法

不知上一题的异或对大家有没有一些启发。我们知道，数组中包含0~n，其中只有一个出现了0次，其余出现了1次，而上一题是：只有一个出现了1次，其余出现了2次。

如何实现本题到上一题的转换呢？
很简单：给数组再添上0~n之间的所有数呗。

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然后我们就发现：那个本来出现0次的现在出现了1次，其余数字都出现了2次。于是我们再把所有数组元素异或起来得到的就是我们想要的数字了。
不过，给数组再追加n个元素未免太浪费了。那这0~n个数字去哪里找呢？答案是：循环变量！我们遍历数组，那么循环变量就是0~n-1，剩下的那个n，我们可以当做ret的初始值，于是乎我们就可以得到：

ret=Size^0^1^2…^(Size-1)^nums[0]^nums[1]…^nums[Size-1]

于是，所有在等式中出现两次的数都异或为0了，最后剩下出现一次的，也就是原来缺少的那个数。

代码实现：

class Solution {
public:
    int missingNumber(vector<int>& nums) {
        int Size= nums.size();
        int ret = Size;
        for(int i = 0; i < Size; i++)
        {
            ret ^= nums[i];
            ret ^= i;
        }
        return ret;
    }
};

Part III、消失的数字 III

道生一，一生二，二生三，三生万物！让我们来康康第三个改编版本！

给定一个整数数组 nums，其中恰好有两个元素只出现一次，其余所有元素均出现两次。 找出只出现一次的那两个元素。你可以按 任意顺序 返回答案。

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本题又和之前的有所不同：之前是出现一次的数字只有一个，但这一次有两个！分别记为aim1和aim2。
如果我们把所有数异或起来，最终得到的结果就是：aim1^aim2

那么，如何将这两个出现了一次的数区分开来呢？
既然使用了位运算，我们不妨从二进制位的角度出发：两个数对应二进制位相同则异或后为0，不同则为1。
那么我们只要找到这两个数异或后的结果的二进制中1的位置，那么通过它我们就可以区分这两个数。

举个例子：
假设剩下1和3，它们的二进制分别为：
01
11
异或后得到10，这里的1出现的位置就是1和3对应的二进制位不同的地方。

我们找到突破点就可以写代码了：

class Solution {
public:
    vector<int> singleNumber(vector<int>& nums) 
    {
        int res = 0;
        for(auto e : nums)
        {
            res ^= e;//得到所有数异或起来的结果
        }
        //最终的res就是那两个只出现一次的数异或的结果
        //找到res二进制中1的对应比特位
        //这意味着它们在这一位上的二进制数是不同的
        //根据这个差别进行分类
        int i = 0;
        for(i = 0;i < 32; i++)
        {
            if(res >> i & 1 == 1)
            {
                break;
            }
        }
        //第i位就是区分这两个数的比特位
        vector<int> v;
        v.push_back(0);
        for(auto e : nums)
        {
            if(e >> i & 1 == 1)
            {
                v[0] ^= e;//将所有第i位是1的异或起来
            }
        }//得到的最终结果就是两个只出现一次的元素的其中一个
        //再让它跟res异或，得到的就是另外一个
        v.push_back(res ^ v[0]);
        return v;
    }
};

Part IV、消失的数字 IV

想不到吧，还有改编题——

给你一个整数数组 nums ，除某个元素仅出现 一次 外，其余每个元素都恰出现 三次 。请你找出并返回那个只出现了一次的元素。
注意：你的算法应该具有线性时间复杂度。 你可以不使用额外空间来实现吗？

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这次的数组又出新花样了：依旧是有一个只出现了一次，但是剩下的都出现了三次。这又怎么办呢？同样的，我们追求的是效率。这次我们依然从二进制位的角度看问题：

假设一个数组是这样的：{1,1,1,2},那么它们的二进制对应的就是01、01、01、10，我们可以看到：第一位为1的有3个，第二位为1的有1个。
什么意思呢？
我们再看一组例子：{7,7,7,5,3,3,3}；
7对应二进制111,5对应101,3对应011。
我们依然统计它们的二进制位中1出现的次数，发现：
1、第一位为1的有7个
2、第二位为1的有6个
3、第三位为1的有4个。

和第一个例子结合起来可以看到：有的二进制位上1的个数是3的倍数，即3n，而其他的都是3的倍数再加1，即3n+1，而这些位刚好是那个只出现一次的数中1出现的位置。
比如：
第一个例子中，合计出现次数为3n+1的位是第二位，而只出现一次的2的二进制就是10。
第二个例子中，合计出现次数为3n+1的位是第一位和第三位，而只出现一次的5的二进制就是101。

综上所述：我们可以统计数组元素的二进制中1出现的位置并计算它们出现的次数，根据这个次数是否是3n+1来判断哪个数是只出现一次的。

代码实现：

class Solution {
public:
    int singleNumber(vector<int>& nums) 
    {
        int ret = 0;
        for(int i = 0; i < 32; i++)
        {
            //记bit位分别是第0位~第31位
            int cnt = 0;//统计每一个数第i位出现1的次数
            for(auto e : nums)
            {
                if((e >> i & 1) == 1)
                {
                    ++cnt;
                }
            }
            if(cnt % 3 == 1)
            {
                //cnt会出现3n以及3n+1的情况
                //3n说明那个出现一次的数第i位不是1
                //3n+1说明那个出现一次的数第i位是1
                ret += 1 << i;//根据第几位是1可以计算出ret是多少
            }
        }
        return ret;
    }
};

Part V、检验自己

如何不使用临时变量实现a,b两个数值的交换？

a=a^b;
b=a^b;
a=a^b;

第一次令a=a^b,第二次b=a^b^b，也就是a，最后a=a^b^a，也就是b；

听懂了嘛?没懂得同学可以再看一看上面的解析，好好品味一下哦，同时也欢迎评论区提问。

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