快速幂运算+快速幂求乘法逆元

Posted 2021-09-08 一只特立独行的猫

快速幂运算

时间复杂度：
O(logp)
原理:
当计算$a^{b}modp$时，可以将多次累乘转换为少次累乘。如：
$a^{(10{)}_{10}}modp=a^{(1010{)}_2}modp=a^{(1000{)}_2}\ast a^{(10{)}_2}modp$
通过这种计算方法，就将乘的次数由b降到了logb
代码：
当计算$(10^9{)}^{10^9}mod10^9+7$的结果时, 只能用快速幂求解才能较快的 计算出结果，且不会在计算的途中溢出。

#include<iostream>

typedef long long LL;
using namespace std;

int qmi(int a,int b,int p){
    int res=1;
    while(b!=0){
        //提取二进制位为1才是有效位
        if(b&1) res = (LL)res*a%p;
        b>>=1;
        a=(LL)a*a%p;
    }
    return res;
}

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    while(n--){
        int a,b,p;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&p);
        printf("%d\\n",qmi(a,b,p));
    }
    return 0;
}

快速幂运算求乘法逆元

乘法逆元的定义:
$如果存在b满足a\ast b三1(modn)$,则称b为a模n的乘法逆元，记为$a^{-1}$
前提：
a和n互质
思路：
由费马定理$a^{n-1}三1(modn)$可知，$a^{-1}$即为$a^{n-2}modn$，所以就将题目转换为了快速求$a^{n-2}modn的问题。$
代码：

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

//a^k%p
int qmi(int a,int k,int p){
     int res = 1;
     while(k){
        if(k&1) res=(LL)res*a%p;
        k>>=1;
        a=(LL)a*a%p;
     }
     return res;
}

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    while(n--){
        int a,p;
        scanf("%d%d",&a,&p);
        //题目满足p是质数，所以只有a是p的倍数的情况下不互质，即无解
        if(a%p==0) printf("impossible\\n");
        else printf("%d\\n",qmi(a,p-2,p));
    }
    return 0;
}