P2522 [HAOI2011]Problem b

Posted 2021-09-08 Jozky86

P2522 [HAOI2011]Problem b

题意：

对于给出的 n 个询问，每次求有多少个数对 (x,y)，满足 a≤x≤b，c≤y≤d，且 gcd(x,y)=k，gcd(x,y) 函数为 x 和 y 的最大公约数。

题解：

这个题跟P3455 [POI2007]ZAP-Queries很像，唯一的区别就是本题不是从1开始是从a开始，本题的公式是这样的：
${\sum }_{x=a}^b{\sum }_{y=c}^d\gcd (x,y)=k$
两个求和公式分别是从a和c开始，而不是1开始
这怎么整？
这样：两个求和公式其实就是二维前缀和，如图，现在我们知道各点到(1,1)的面积，如何求小矩形的面积？sum=solve（b,d）-solve(b,a)-solve(c,b)+solve(a,c)

这样我们只需要求从1开始的求和公式，然后通过运算得到我们想要的指定范围

代码：

// Problem: P2522 [HAOI2011]Problem b
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2522
// Memory Limit: 250 MB
// Time Limit: 2500 ms
// Data:2021-08-21 10:45:59
// By Jozky

#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#define debug(a, b) printf("%s = %d\\n", a, b);
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
clock_t startTime, endTime;
//Fe~Jozky
const ll INF_ll= 1e18;
const int INF_int= 0x3f3f3f3f;
void read(){};
template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar)
{
    x= 0;
    char c= getchar();
    bool flag= 0;
    while (c < '0' || c > '9')
        flag|= (c == '-'), c= getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9')
        x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();
    if (flag)
        x= -x;
    read(Ar...);
}
template <typename T> inline void write(T x)
{
    if (x < 0) {
        x= ~(x - 1);
        putchar('-');
    }
    if (x > 9)
        write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
void rd_test()
{
#ifdef LOCAL
    startTime= clock();
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif
}
void Time_test()
{
#ifdef LOCAL
    endTime= clock();
    printf("\\nRun Time:%lfs\\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
}
const int maxn= 5e5 + 9;
int mu[maxn];
int prim[maxn];
int tot= 0;
int tag[maxn];
int vis[maxn];
int sum[maxn];
void get_mu(int n)
{
    mu[1]= 1;
    tag[0]= tag[1]= 1;
    for (int i= 2; i <= n; i++) {
        if (!tag[i]) {
            prim[++tot]= i;
            mu[i]= -1;
        }
        for (int j= 1; j <= tot && i * prim[j] <= n; j++) {
            tag[i * prim[j]]= 1;
            if (i % prim[j] == 0)
                break;

            mu[i * prim[j]]= -mu[i];
        }
    }
    for (int i= 1; i <= n; i++) {
        sum[i]= sum[i - 1] + mu[i];
    }
}
int a, b, c, d, k;
ll solve(int b, int d)
{
    b/= k;
    d/= k;
    int minn= min(b, d);
    ll ans= 0;
    for (int l= 1, r; l <= minn; l= r + 1) {
        r= min(b / (b / l), d / (d / l));
        ans+= 1ll * (sum[r] - sum[l - 1]) * (b / l) * (d / l);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    //rd_test();
    get_mu(500000);
    //cout << "--" << endl;
    int t;
    read(t);
    while (t--) {
        read(a, b, c, d, k);
        printf("%lld\\n", solve(b, d) - solve(b, c - 1) - solve(a - 1, d) + solve(a - 1, c - 1));
    }
    return 0;
    //Time_test();
}