[数值计算-8]：一元n次非线性方程求解-双点区间-弦截迭代法&Python法代码示例

Posted 2021-09-07 文火冰糖的硅基工坊

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1.1 非线性函数

线性函数是一次函数的别称，则非线性函数即函数图像不是一条直线的函数。非线性函数包括指数函数、幂函数、对数函数、多项式函数等等基本初等函数以及他们组成的复合函数

1.2 非线性函数案例

y = f(x) = a3*x^3 + a2*x^1 + a0

另a3 = 1， a2=-1， a0=-1；得到:

y=f(x) = x^3 - x - 1

1.3 非线性函数的几何图形

2. 弦截迭代法求非线性方程解的基本原理

2.1 基本思想

二分法：是使用一个X轴区间上的x值的二分中值点（线性）Xk值，逐渐逼近真实解X。

牛顿法：使用非线性曲线上的一个点切线（线性）与X轴的交点Xk值，逐渐逼近真实解X。

玄截法：使用非线性曲线上的二个点的连线（线性）与X轴的交点Xk值，逐渐逼近真实解X。
本质：

无论那种方法，本质上是用曲线上相关的点构成的直线方程的解（即与x轴的交点）来逼近真实的解。即用线性直线替代非线性曲线，用线性解无限逼近非线性解。

神经元的本质就是一个直线，神经网络就是大量的线性直线构逼近现实的非线性方程。

2.2 确定误差或收敛条件

与牛顿迭代法类似，用Xk+1 - Xk作为误差收敛的条件。

2.2 迭代过程

（1）单动点弦截法：其中一个点相对固定，另一个点使用最新迭代点。

（2）双动点弦截法：每次迭代都使用最新的两个点作为弦的两个端点。

2.3 玄截法的优缺点

3. Python代码示例

（1）源代码

#导入库
from math import *
import time
import numpy
import matplotlib.pyplot as plt

# 一元N次非线性函数
# y=f(x) = x^3 - x - 1
def f(x):
    return(1.0*x**3 - 1.0*x**1 -1)  #原函数 

#定义精度
accuracy = 0.0001

#定义初始弦点
#(-2, 2); (2, -2), (4,6), (-2, 0)
x0 = -2
x1 = 2

#log data
count = 0
x_data  = []
y_data  = []

#记录初始节点
x_data.append(0)
y_data.append(x1)

#迭代起始时间
start = time.time()

while True:
    #新的一轮迭代
    #x2 = x1 - (f(x1)/(f(x1) - f(x0))* (x1-x0)
    x2 = x1 - (f(x1)/(f(x1)-f(x0))) * (x1-x0)
    #迭代后误差
    Err = fabs(x2-x1)
    #迭代后，更新弦的两个端点
    x0=x1
    x1=x2   
               
    #增加log记录
    count = count + 1
    x_data.append(count)
    y_data.append(x2)
    
    if (Err <= accuracy):
        break;
    
#迭代终止时间
end = time.time()

print("耗时=", end-start)
print("迭代次数=", count)
print("方程解=", x2)
print("实际误差=", Err)

print("\\n迭代过程")
for x in x_data:
    print("X{}={}".format(x,y_data[x]))

plt.scatter(x_data, y_data)

（2）输出结果

耗时= 0.0
迭代次数= 14
方程解= 1.3247179475513264
实际误差= 1.1443981175807139e-05

迭代过程
X0=2
X1=0.33333333333333326
X2=0.6764705882352942
X3=-5.9659037832788435
X4=0.7205447258552375
X5=0.7642428766142935
X6=2.7795773998506097
X7=0.9039311563739425
X8=1.0198194558275189
X9=1.5589937858809622
X10=1.2560469915663113
X11=1.3113074866299563
X12=1.3256266858160797
X13=1.3247065035701506
X14=1.3247179475513264

（3）图形显示收敛过程