P2634 [国家集训队]聪聪可可(树形dp)

Posted 2021-09-07 Jozky86

题意：

一颗n个点的树，问其中两点之间的边上数的和加起来是3的倍数的点对有多少个？
输出这样的点对所占比例

题解：

树形dp求解
因为是求长度为3的倍数，模3的结果只有0/1/2，我们可以单独考虑作为一维。
设dp[i][j]表示从i的子树里任选一点到i的路径长度(mod 3)为j的方案数
有转移：
v是u的儿子节点
$j\in 0,1,2$
$dp[u][j]=\sum dp[v][(j+dist(u,v))\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3]$
简化下：
$dp[u][(j+dist(u,v))\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3]+=dp[v][j]$
怎么得到的？
到v的距离是j，那到u的距离不就是j+dist(u,v)，
统计答案时，我们设点x和y符合要求(如图)，说明x到u的距离与y到u的距离和是3的倍数，即(i+w+j)%3==0，即j=(3-i-w)%3,我们枚举i，然后看对应的j有多少，数量相乘(乘法原理)，

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#define debug(a, b) printf("%s = %d\\n", a, b);
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
clock_t startTime, endTime;
//Fe~Jozky
const ll INF_ll= 1e18;
const int INF_int= 0x3f3f3f3f;
void read(){};
template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar)
{
    x= 0;
    char c= getchar();
    bool flag= 0;
    while (c < '0' || c > '9')
        flag|= (c == '-'), c= getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9')
        x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();
    if (flag)
        x= -x;
    read(Ar...);
}
template <typename T> inline void write(T x)
{
    if (x < 0) {
        x= ~(x - 1);
        putchar('-');
    }
    if (x > 9)
        write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
void rd_test()
{
#ifdef LOCAL
    startTime= clock();
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif
}
void Time_test()
{
#ifdef LOCAL
    endTime= clock();
    printf("\\nRun Time:%lfs\\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
}
const int maxn= 1e5 + 9;
int dp[maxn][3];
int ans= 0;
vector<PII> vec[maxn];
int mod(int x)
{
    return (x % 3 + 3) % 3;
}
void dfs(int u, int fa)
{
    dp[u][0]= 1;
    for (auto it : vec[u]) {
        int v= it.first;
        int w= it.second;
        if (v == fa)
            continue;
        dfs(v, u);
        for (int i= 0; i < 3; i++) {
            ans+= dp[v][i] * dp[u][mod(3 - i - w)] * 2;
        }
        for (int i= 0; i < 3; i++) {
            dp[u][mod(i + w)]+= dp[v][i];
        }
    }
}
int main()
{
    //rd_test();
    int n;
    read(n);
    for (int i= 1; i < n; i++) {
        int u, v, w;
        read(u, v, w);
        vec[u].push_back({v, w});
        vec[v].push_back({u, w});
    }
    dfs(1, -1);
    ll a= ans + n;
    ll b= 1ll * n * n;
    ll g= __gcd(a, b);
    printf("%lld/%lld\\n", a / g, b / g);
    //Time_test();
}