学生的出勤记录II--动态规划和dfs记忆化解决

Posted 2021-09-07 C_YCBX Py_YYDS

文章目录

• • 题目
  • 题目解析(其实重在连续 L 的处理)
  • • dfs记忆化的思路
    • dp数组思路
  • 解题代码
  • • dfs记忆化
    • dp数组状态转移

题目

题目解析(其实重在连续 L 的处理)

dfs记忆化的思路

这道题浏览后，乍一看就觉得是关于多个变量的 dfs 记忆化操作，我也是朝着这个方向走的，但是问题却出在考虑的情况太多。。我把不够成答案的组合也算在内了，实际上我们每次 dfs 只需要枚举可形成答案的组合即可。所以一旦 A 和 L 的选择达到最大上限，则不可再选。(L较为特殊需要连续的)

基本的dfs框架有了，如何记忆化呢？

有了基本dfs框架，那么记忆化就很简单了，我们用 memo[n][2][3]=>memo[i][j][k] 来记录状态，因为这三个状态量固定后，后面的东西均可形成记忆化，表示到了第 i 天我们已经选择了 j 次 A 和 k 次 L ,由于 L 的次数计数是要连续的，所以只要当前选择的不是 L 则 L 计数永远都是0。

dp数组思路

通过三维dp数组进行状态转移：dp[n][2][3]。

dp[i][j][k]:

• 第一维 i 表示当前一共到了第几天。
• 第二维 j 表示这些天里选择 A 的次数。
• 第三维 k 表示这些天里连续选择 L 的次数。

状态转移方程：
对于每一天，我们选择 P 、A 、 L 会有不同的状态转移。

• 当天选择 P 的状态转移方程：dp[i][j][0] = (dp[i][j][0] + dp[i-1][j][k]) % mod,左边是当天选择 P 后所有可能出现的状态，它能转移到上一天的所有状态。
• 当天选择 A 的状态转移方程：dp[i][1][0] = (dp[i][1][0] + dp[i-1][0][k]) % mod,同样左边也是选择 A 后可能出现的状态，对于 A 由于只能最多选择一次，所以该天状态只能有这一种，而且由于该天状态 A 选择了一次，则上一天只能选择0次了。
• 当天选择L的状态转移方程：dp[i][j][k] = (dp[i][j][k] + dp[i-1][j][k-1]) % mod,选择 L 后终于可以出现连续的 L 了，所以当天状态为所有可能的状态，而依赖的上一天的状态只能是 k-1 个 L。

注意到这个状态转移的过程是：当天的可能状态推导出可以依赖的上一天的状态。

基本情况：对于 dp[0][][]对于第0天(也就是第一天)的选择，我们每一种选择只可能有一种组合：

   dp[0][0][0] = 1
   dp[0][1][0] = 1
   dp[0][0][1] = 1

解题代码

dfs记忆化

class Solution {
public:
    int checkRecord(int n) {
        const int MOD = 1e9+7;
        int memo[n+1][2][3];memset(memo,0,sizeof(memo));
        function<int(int,int,int)> dfs = [&](int cntA,int cntL,int k){
            if(k==n){
                return 1;
            }
            if(memo[k][cntA][cntL])return memo[k][cntA][cntL];
            int res = 0;
           for(int i=0;i<3;i++){
               //不能再选A了或L的情况进行跳过
                if(cntA>=1&&i==0)
                    continue;
                if(cntL>=2&&i==1)
                    continue;
                int A_t = cntA,L_t;
                if(i==0) {A_t ++;L_t=0;}
                else if(i==1) L_t = cntL+1;
                else L_t = 0;
                res = (res+dfs(A_t,L_t,k+1))%MOD;
            }
          return  memo[k][cntA][cntL] = res;
        };
        return dfs(0,0,0);
    }
    
};

dp数组状态转移

func checkRecord(n int) (ans int) {
    const mod  = 1e9 + 7
    dp := make([][2][3]int, n) // 三个维度分别表示：长度，A 的数量，结尾连续 L 的数量
    dp[0][0][0] = 1
    dp[0][1][0] = 1
    dp[0][0][1] = 1
    for i := 1; i < n; i++ {
// 选择P，只不是选择L的话，L的位置都设为0,因为既然选择了其他的就不可能存在连续的数据
        for j := 0; j <= 1; j++ {
            for k := 0; k <= 2; k++ {
                dp[i][j][0] = (dp[i][j][0] + dp[i-1][j][k]) % mod
            }
        }
        // 选择A，第二维度为0是同理的
        for k := 0; k <= 2; k++ {
            dp[i][1][0] = (dp[i][1][0] + dp[i-1][0][k]) % mod
        }
        // 选择L,这样就可以连续了
        for j := 0; j <= 1; j++ {
            for k := 1; k <= 2; k++ {
                dp[i][j][k] = (dp[i][j][k] + dp[i-1][j][k-1]) % mod
            }
        }
    }
    //加上所有第n-1天的产物
    for j := 0; j <= 1; j++ {
        for k := 0; k <= 2; k++ {
            ans = (ans + dp[n-1][j][k]) % mod
        }
    }
    return ans
}