hdu 5691 Sitting in Line（状压dp）
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问题
hdu 5691 Sitting in Line - https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5691
分析
实质
- 求解最优排列
贪心策略
- 例如：3，-1，-5，4（不预设任何位置）
- 若前面两个数是4、-5，则有两种排列
- 4，-5，结果是：-20
- -5，4，结果是：-20
- 这两个排列哪个更优呢？答案：无法比较。理由如下：
- 若扩展一个3，则有
- 4，-5，3，结果是：-35
- -5，4，3，结果是：-8
- 显然，后者对应了较优解
- 若扩展一个-1，则有
- 4，-5，-1，结果是：-15
- -5，4，-1，结果是：-24
- 显然，前者对应了较优解
- 结论：当集合
{
a
1
，
a
2
，
⋯
，
a
k
}
\\{a_1，a_2，\\cdots，a_k\\}
{a1，a2，⋯，ak} 中的元素构成一个排列时，只有尾元素相同时才能比较优劣，即可贪心，因此有k个结果
- { a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a k } \\{a_1，a_2，\\cdots，a_k\\} {a1，a2，⋯，ak}及 a 1 a_1 a1 结尾
- { a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a k } \\{a_1，a_2，\\cdots，a_k\\} {a1，a2，⋯，ak}及 a 2 a_2 a2 结尾
- ……
- { a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a k } \\{a_1，a_2，\\cdots，a_k\\} {a1，a2，⋯，ak}及 a k a_k ak 结尾
状态定义
- 上述k个结果就是k个状态
- 如何表示状态？需要 两 个量
- 已经被排列的数的集合
- 排列中的最后一个元素
- 如何表示集合？
- 集合 ⇒ 映 射 \\quad\\overset{映射}{\\Rightarrow}\\quad ⇒映射 二进制
- 设集合 { a 2 ， a 3 ， a 5 ， a 7 ， a 12 ， a 16 } \\{a_2，a_3，a_5，a_7，a_{12}，a_{16}\\} {a2，a3，a5，a7，a12，a16}
- 16位二进制： 1000 1000 0101 0110 1000\\;1000\\;0101\\;0110 1000100001010110，将元素的下标对应的二进制 位 置1
- d p [ s ] [ i ] dp[s][i] dp[s][i]： s s s 为元素下标的映射， i i i 为尾元素的下标
- 状态转移
- d p [ s ∣ ( 1 < < ( j − 1 ) ) ] [ j ] = m a x ( d p [ s ∣ ( 1 < < ( j − 1 ) ) ] [ j ] ， d p [ s ] [ i ] + a i × a j ) dp[s | (1<< (j-1))][j]=max(dp[s | (1<< (j-1))][j]，dp[s][i]+a_i \\times a_j) dp[s∣(1<<(j−1))][j]=max(dp[s∣(1<<(j−1))][j]，dp[s][i]+ai×aj)
真实态、虚假态
- 设共有4个元素 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 a_1，a_2，a_3，a_4 a1，a2，a3，a4，其中 a 2 a_2 a2 预设在 0 位置
- 那么，将 a 2 a_2 a2 排在 0 位置的状态 [ 0010 ] [ 2 ] [0010][2] [0010][2] 是合理的、真实的
- 相反，将 a 1 a_1 a1 排在 0 位置的状态 [ 0001 ] [ 1 ] [0001][1] [0001][1] 是不合理、虚假的；同理，将 a 3 、 a 4 a_3、a_4 a3、a4 排在 0 位置都是虚假态