2021牛客多校9 - Cells(推公式+NTT)
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了2021牛客多校9 - Cells(推公式+NTT)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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题目大意：初始时给出 n n n 个点，分别为 { ( 0 , a 0 ) , ( 0 , a 1 ) , ⋯ , ( 0 , a n ) } \\{(0,a_0),(0,a_1),\\cdots,(0,a_n)\\} {(0,a0),(0,a1),⋯,(0,an)}，每次可以向下走或向左走，问到达点 { ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ⋯ , ( n , 0 ) } \\{(1,0),(2,0),\\cdots,(n,0)\\} {(1,0),(2,0),⋯,(n,0)} 且路径不相交的方案数
题目分析：有向图路径不相交方案数问题，考虑 L G V LGV LGV 定理，实质上就是要求
假设 a i a_i ai 和 b j b_j bj 用坐标表示，那么不难看出 e ( a i , b j ) = ( ( a i , x − b j , x ) + ( a i , y − b j , y ) a i , x − b j , x ) e(a_i,b_j)={(a_{i,x}-b_{j,x})+(a_{i,y}-b_{j,y})\\choose a_{i,x}-b_{j,x}} e(ai,bj)=(ai,x−bj,x(ai,x−bj,x)+(ai,y−bj,y))
又因为本题中
a
i
=
(
0
,
a
i
)
a_i=(0,a_i)
ai=(0,ai)，
b
j
=
(
j
,
0
)
b_j=(j,0)
bj=(j,0)，所以
e
(
a
i
,
b
j
)
=
(
a
i
+
j
j
)
e(a_i,b_j)={a_i+j\\choose j}
e(ai,bj)=(jai+j)
根据
(
n
m
)
=
n
!
m
!
(
n
−
m
)
!
{n \\choose m}=\\frac{n!}{m!(n-m)!}
(mn)=m!(n−m)!n! 展开
e
(
a
i
,
b
j
)
=
(
a
i
+
j
)
!
j
!
a
i
!
e(a_i,b_j)=\\frac{(a_i+j)!}{j!a_i!}
e(ai,bj)=j!ai!(ai+j)!
于是目标行列式为
M = ∣ ( a 1 + 1 ) ! 1 ! a 1 ! ( a 1 + 2 ) ! 2 ! a 1 ! ⋯ ( a 1 + n ) ! n ! a 1 ! ( a 2 + 1 ) ! 1 ! a 2 ! ( a 2 + 2 ) ! 2 ! a 2 ! ⋯ ( a 2 + n ) ! n ! a 2 ! ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( a n + 1 ) ! 1 ! a n ! ( a n + 2 ) ! 2 ! a n ! ⋯ ( a n + n ) ! n ! a n ! ∣ M=\\left |\\begin{array}{cccc} \\frac{(a_1+1)!}{1!a_1!} &\\frac{(a_1+2)!}{2!a_1!} &\\cdots& \\frac{(a_1+n)!}{n!a_1!} \\\\ \\frac{(a_2+1)!}{1!a_2!} &\\frac{(a_2+2)!}{2!a_2!} &\\cdots& \\frac{(a_2+n)!}{n!a_2!} \\\\ \\vdots & \\vdots &\\ddots&\\vdots \\\\ \\frac{(a_n+1)!}{1!a_n!} & \\frac{(a_n+2)!}{2!a_n!} &\\cdots&\\frac{(a_n+n)!}{n!a_n!} \\\\ \\end{array}\\right| M=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1!a1!(a1+1)!1!a2!(a2+1)!⋮1!an!(an+1)!2!a1!(a1+2)!2!a2!(a2+2)!⋮2!an!(an+2)!⋯⋯⋱⋯以上是关于2021牛客多校9 - Cells(推公式+NTT)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
2022牛客多校第四场C.Easy Counting Problem（EGF+NTT）
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