0x52. 动态规划 - 背包（习题详解 × 19）

Posted 2021-09-07 繁凡さん

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0x52. 动态规划 - 背包

0x52.1 $0 / 1$ 背包

Template

给定 $N$ 个物品，其中第 $i$ 个物品的体积为 $V_i$ ，价值为 $W_i$ ，有一个容积为 $M$ 的背包，求选择一些物品放入背包，使得物品的总体积不超过 $M$ 的前提下，物品的价值总和最大，即背包不一定装满。

Solution

显然是一个线性DP，我们选择已处理的物品数和当前总体积作为DP的阶段
设 $f [i, j]$ 从前 $i$ 个物品中选出总体积 $j$ 物品放入背包的最大价值。

$f [i] [j] = f [i - 1] [j]$ 不选择第 $i$ 个物品
$f[i][j] = \\max\\{f[i][j - v[i]] + w[i]\\}$ 选择第 $i$ 个物品

初始化 $f [0, 0] = 0$

可以写出暴力转移代码：

f[maxn][maxn];
memset(f, 0xcf, sizeof f);

f[0][0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
	for (int j = 0; j <= m; ++ j)
		f[i][j] = f[i - 1][j];
	for (int j = v[i], j <= m; ++ j)
		f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}

由于 $f [i] []$ 仅与 $f [i - 1] []$ 有关，显然可以使用滚动数组优化。
由于转移方程中 $f [i] [j] = f [i - 1] [j]$ ，每次需要做一次拷贝，因此在做滚动数组的时候不需要清空。

f[2][maxn];

for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
	for (int j = 0; j <= m; ++ j)
		f[i & 1][j] = f[i - 1 & 1][j];
	for (int j = v[i]; j <= m; ++ j)
		f[i & 1][j] = max(f[i & 1][j], f[i - 1 & 1][j - v[i]] + w[i]);		
}

int ans = 0;
for (int j = 1; j <= m; ++ j)
	ans = max(ans, f[n & 1][j]);

由于滚动数组的时候每次仅需拷贝无需清空，所以我们发现可以直接去掉第一维，在枚举到第 $i$ 个物品的时候
$f [j]$ 表示背包中放入总体积为 $j$ 的物品的最大价值和。但是由于 0/1 背包每个物品仅能使用一次，所以我们需要
倒序枚举，防止 $f [i] [j]$ 从 $f [i] [j - v [i]]$ 转移导致同一个物品被选取多次。

for (int i = 1; i <= n; ++ i)
	for (int j = m; j >= v[i], -- j)
		f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
int ans = 0;
for (int j = 1; j <= m; ++ j) 
	ans = max(ans, f[j]);

Problem A. 数字组合

AcWing 278

给定 $N$ 个正整数，从中选出若干个数，使得它们的和是 $M$ ，求有多少种选择方案。

$1\\le N \\le 100, 1\\le M \\le 1000$

Solution

显然是一个 0/1 背包的模型求总方案数，我们将转移时的 $\\max$ 改为求和即可。

$f [i, j]$ 表示取前 $i$ 个数字，和为 $j$ 的方案数。这里相当于必须装满的背包。

Code

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std; 
const int N = 1e5 + 6; 
int n, m, s, t;
int a[N];
int f[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        scanf("%d", &a[i]);

    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) 
        for (int j = m; j >= a[i]; -- j)
            f[j] += f[j - a[i]];
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

Problem B. 背包问题求具体方案

AcWing 12

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。

第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$ ，价值是 $w_i$ 。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出字典序最小的方案。这里的字典序是指：所选物品的编号所构成的序列。物品的编号范围是 $1 \dots N$ 。

$0<N,V≤1000,0<v_i,w_i≤1000$
Solution

0/1 背包转移之后，倒序再遍历一遍输出方案即可。

因为要求按字典序输出，倒序循环枚举物品，正序循环输出方案即可。

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 5007;
int n, m;
int f[N][N];
int v[N], w[N];
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for(int i = 1; i <= n; ++ i)
        scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    for(int i = n; i >= 1; -- i){
        for(int j = m; j >= 0; -- j){
            f[i][j] = f[i + 1][j];
            if(j >= v[i])
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i + 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    int j = m;
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        if(j >= v[i] && f[i][j] == f[i + 1][j - v[i]] + w[i]){
            printf("%d ", i);
            j -= v[i];
        }
        
    }
    puts("");
    return 0;
}