796. 子矩阵的和

Posted 2021-09-06 幽殇默

796. 子矩阵的和

本题的关键在于如何的求矩阵的前缀和。


其前缀和都是从当前点的右下角到左上角。

那么首先的第一个问题就是如何计算其矩阵的前缀和。
例如: 你要求(1,1) 到 (2,3)的前缀和。

它就等于红色的矩阵加上橙色的矩阵减去重复的部分再加上单独的那一块。
假设前缀和数组为 sum[ i ][ j ]。
那么 sum[ 2 ] [ 3 ] =sum [ 2 ] [ 2 ] + sum [ 1 ,3 ] - sum[ 1, 2 ] +a[2] [3 ]。

总结为公式就是: sum[i][j] = sum [i] [j-1] + sum [ i-1] [ j ] - sum [ i-1] [ j - 1] + a[ i ] [ j ]
需要注意的是我们这里的数组是从 (1,1)开始的。因为这样可以算 sum [ 1 ] [ 1] 不会造成越界的情况。

前缀和已经搞定了。
那么接下来的一个问题就是如何求给定的一个矩阵的和。

例如: 求 左上端点为(2,2) 右下端点为(3,3) 的矩阵的里面的数字的和。

绿色部分=红色-紫色-橙色+ 黄色的那一块。
即
绿色部分=sum[ 3 ][ 3 ] - sum[ 3 ] [ 1 ] - sum [ 1] [ 3 ] + a[ 1 ] [1 ]

设左上端点为 x1,y1 右下端点为 x2 ,y2
公式为: 绿色矩阵=sum[ x2 ][ y2 ] - sum [ x2 ] [ y1 -1] - sum[ x1-1 ] [ y2 ] + sum[ x1-1 ] [ y1 -1 ]

上面的这种方法叫做: 容斥原理.
代码如下:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m,q;
int a[N][N],s[N][N];
int main(void)
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			scanf("%d",&a[i][j]);
			s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
		}
	}
	while(q--)
	{
		int x1,y1,x2,y2;
		scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
		printf("%d\\n",s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]);
	}
	return 0;
}