CCF202104-2 邻域均值（100分）前缀和

Posted 2021-09-06 海岛Blog

试题编号： 202104-2
试题名称： 邻域均值
时间限制： 1.0s
内存限制： 512.0MB
问题描述：

试题背景

顿顿在学习了数字图像处理后，想要对手上的一副灰度图像进行降噪处理。不过该图像仅在较暗区域有很多噪点，如果贸然对全图进行降噪，会在抹去噪点的同时也模糊了原有图像。因此顿顿打算先使用邻域均值来判断一个像素是否处于较暗区域，然后仅对处于较暗区域的像素进行降噪处理。

问题描述

待处理的灰度图像长宽皆为n个像素，可以表示为一个n×n大小的矩阵A，其中每个元素是一个[0,L)范围内的整数，表示对应位置像素的灰度值。
对于矩阵中任意一个元素Aij（0≤i,j＜n），其邻域定义为附近若干元素的集和：
N e i g h b o r ( i , j , r ) = { A x y ∣ 0 ≤ x , y ＜ n 　 a n d 　 ∣ x − i ∣ ≤ r 　 a n d 　 ∣ y − j ∣ ≤ r } Neighbor(i,j,r)=\\{A_{xy}|0≤x,y＜n　and　|x-i|≤r　and　|y-j|≤r\\} Neighbor(i,j,r)={Axy​∣0≤x,y＜n　and　∣x−i∣≤r　and　∣y−j∣≤r}

这里使用了一个额外的参数r来指明Aij附近元素的具体范围。根据定义，易知Neighbor(i,j,r)最多有(2r+1)²个元素。

如果元素Aij邻域中所有元素的平均值小于或等于一个给定的阈值t，我们就认为该元素对应位置的像素处于较暗区域。
下图给出了两个例子，左侧图像的较暗区域在右侧图像中展示为黑色，其余区域展示为白色。

现给定邻域参数r和阈值t，试统计输入灰度图像中有多少像素处于较暗区域。

输入格式

输入共n+1行。

输入的第一行包含四个用空格分隔的正整数n、L、r和t，含义如前文所述。

第二到第n+1行输入矩阵A。
第i+2（0≤i＜n）行包含用空格分隔的n个整数，依次为Ai0，Ai1，…，A_i(n-1)。

输出格式

输出一个整数，表示输入灰度图像中处于较暗区域的像素总数。

样例输入

4 16 1 6
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15

样例输出

7

样例输入

11 8 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 7 0 0 0 7 0 0 7 7 0
7 0 7 0 7 0 7 0 7 0 7
7 0 0 0 7 0 0 0 7 0 7
7 0 0 0 0 7 0 0 7 7 0
7 0 0 0 0 0 7 0 7 0 0
7 0 7 0 7 0 7 0 7 0 0
0 7 0 0 0 7 0 0 7 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

样例输出

83

评测用例规模与约定

70%的测试数据满足n≤100、r≤10。

全部的测试数据满足0＜n≤600、 0＜r≤100且2≤t＜L≤256。

问题链接：CCF202104-2 邻域均值
问题简述：（略）
问题分析：按照题意处理即可。需要注意处理时间，如果没有合适处理则有可能得不了满分100分。所以需要使用前缀和，或者使用二维前缀和来实现。
程序说明：
数组prefixsum[]用来按行算前缀和，这样可以避免重复的算术求和计算。
数组psum[]用来按子矩阵算前缀和，即二维前缀和，可以更加有效地避免重复的算术求和计算。
程序使用C++的输入和输出实现，12-14行用来加快C++输入输出语句的运行速度。
参考链接：（略）
题记：前缀和用于n次不同的数列区间求和十分有效，可以避免大量重复求和计算。二维前缀和用于n次不同的子矩阵求和十分有效，可以避免大量重复求和计算。

AC的C++语言程序（二维前缀和）如下：

/* CCF202104-2 邻域均值 */

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 600 + 1;
int a[N][N], psum[N][N];

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);

    memset(psum, 0, sizeof psum);

    int n, l, r, t;
    cin >> n >> l >> r >> t;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            cin >> a[i][j];
            psum[i][j] = psum[i][j - 1] + psum[i - 1][j] - psum[i-1][j-1] + a[i][j];
        }

    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            int l2 = max(j - r, 1), r2 = min(j + r, n);
            int u = max(i - r, 1), d = min(i + r, n);
            int t2 = psum[d][r2] - psum[d][l2 - 1] - psum[u - 1][r2] + psum[u - 1][l2 - 1];
            if (t2 <= (d - u + 1) * (r2 - l2 + 1) * t) cnt++;
        }

    cout << cnt << endl;

    return 0;
}

AC的C++语言程序（行前缀和）如下：

/* CCF202104-2 邻域均值 */

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 600 + 1;
int a[N][N], prefixsum[N][N];

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);

    memset(prefixsum, 0, sizeof prefixsum);

    int n, l, r, t;
    cin >> n >> l >> r >> t;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            cin >> a[i][j];
            prefixsum[i][j] = prefixsum[i][j - 1] + a[i][j];
        }

    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            int l2 = j - r < 1 ? 1 : j - r;
            int r2 = j + r > n ? n : j + r;
            int u = i - r < 1 ? 1 : i - r;
            int d = i + r > n ? n : i + r;
            int t2 = 0;
            for (int k = u; k <= d; k++)
                t2 += prefixsum[k][r2] - prefixsum[k][l2 - 1];
            if (t2 <= (d - u + 1) * (r2 - l2 + 1) * t) cnt++;
        }

    cout << cnt << endl;

    return 0;
}