DCT如此重要，作者当初竟然不知道？

Posted 2021-09-06 LiveVideoStack_

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作者 | Alex、赵军

技术审校 | 赵军

Nasir Ahmed

声影传奇

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前段时间，LiveVideoStack发布了一篇文章《视频压缩简史：从1920到2020》，这篇文章获得了很高的阅读量，文章中记录了一个又一个视频压缩历史上的里程碑事件，而其中最引人注目，也最重要的发明之一就是DCT。没有DCT，后面的H.26X， JPEG等一系列压缩标准将无从谈起。

 

什么是DCT？

随着现代人越来越依赖计算机，需要传输的数据数量和种类也越来越多，比如我们经常分享给别人的照片和视频。如何在不丢失主要信息的情况下，缩减数据量，提升存储空间，从而提高传输效率，降低传输成本呢？

 

数据压缩技术登场了。数据压缩分为无损压缩和有损压缩。无损压缩是指数据在解压缩时可以100%被恢复，而有损压缩（常用于声音、图片和视频的压缩）在解压缩的过程中会舍弃一部分数据，达到相对较高的压缩比，同时图像质量也会有所下降。但显而易见，有损压缩可以大大压缩文件数据，节省磁盘空间，并提高传输效率。

 

而有损压缩的核心之一就是DCT。

 

DCT全称为Discrete Cosine Transform，即离散余弦变换。DCT变换属于傅里叶变换的一种，常用于对信号和图像（包括图片和视频）进行有损数据压缩。

DCT将图像分成由不同频率组成的小块，然后进行量化。在量化过程中，舍弃高频分量，剩下的低频分量被保存下来用于后面的图像重建。

 

简单介绍一下整个图像压缩过程：

DCT 8*8图像块

 

• 将图像分解为8*8的图像块

• 将表示像素的RGB系统转换成YUV系统

• 然后从左至右，从上至下对每个图像块做DCT变换，舍弃高频分量，保留低频分量

• 对余下的图像块进行量化压缩，由压缩后的数据所组成的图像大大缩减了存储空间

• 解压缩时对每个图像块做DCT反转换（IDCT），然后重建一幅完整的图像

 

由于舍弃了某些频率的图像，所以最终呈现出来的图像清晰度会有差异。

 

使用DCT压缩前后：

图片By Sid Shanker

                                                 

可以看到，压缩后的图像比原始图像模糊一些，但图像的主要特征仍然可以识别。

 

本质上，离散余弦变换需要一组N个相关（相似）的数据点，变换之后，返回N个去相关（不相似）的数据点（系数），其特点是能量被压缩在仅有的M个系数中，其中M<N。

 

技术文献中通常这样描述DCT，说它具备去相关性和能量集中的特性，初看可能稍有点难以理解。其中，DCT将矩阵的能量压缩到第一个元素中，被称为直流(DC)系数。其余的系数被称为交流(AC)系数。

 

这意味着输出的二维DCT的左上角被称为DC系数。它是DCT最重要的输出，包含了很多关于原始图像的信息。其余的系数被称为交流系数（AC coefficients）。如果你使用DCT对图像进行转换，AC系数包含了图像的更多细节。同时，如果把这些DCT系数应用于反向的2D-DCT，将得到原始系数。DCT本身并不会压缩数据，它为随后的量化之类的操作，提供了一个良好的基础。

 

DCT是谁发明的？

第一个提出DCT的人是Nasir Ahmed。

 

 

Nasir Ahmed

 

1940年，Nasir出生于印度的班加罗尔，并在那里完成了电机工程的本科学业。随后，他来到美国求学。在新墨西哥大学，他获得了电子和计算机工程专业的硕士和博士学位。

 

1966~1968年，Nasir就职于霍尼韦尔公司，之后在堪萨斯州立大学开始了他的教学生涯。1984年，他成为新墨西哥大学电子和计算机工程专业的教授，并一直留在那里任教，直到2001年退休。他现在是新墨西哥大学的荣誉退休教授。

 

在任教期间，Nasir同时还是桑迪亚国家实验室的顾问（1976~1990），这所实验室归属于霍尼韦尔公司，专注于与大学和公司合作进行科技创新。

 

DCT是Nasir一生中最重要的成就。

 

20世纪70年代中期，Nasir在堪萨斯州立大学带领一组研究人员开发了DCT技术。

 

DCT是世界上应用最广泛的数据压缩转换技术，同时也是大多数数字媒体标准（图像、视频和音频）的基础。

DCT是如何被创造出来的？

在上世纪60~70年代，关于数字正交变换及其在图像数据压缩中应用的研究层出不穷。许多变换声称与其他变换相比具有更好的性能，但这些对比全部是建立在定性比较的基础上，即查看一组使用变换编码技术进行数据压缩的“标准”图像。

 

同一时期，在定量比较方面取得了重要进展。方差准则（variance criterion）和率失真标准（rate distortion criterion）被开发出来并广泛用于评估图像数据压缩的性能指标。此外，KLT（Karhunen-Loeve transform，K-L变换）一跃成为用作比较目的的最优变换。

 

正是在这样的技术背景下，Nasir才能开始着手解决DCT问题。

 

Nasir发现，KLT确实是基于均方误差准则和一阶马尔科夫模型的最佳变换，但是却缺少有效算法来计算它。于是，如何有效计算 KLT 的最佳近似值成为了他的研究重点。他当时想到一种值得研究的方法——切比雪夫插值。1972年，他将这一想法写成一份提案，提交给了美国国家科学基金会（NSF），希望获得该基金会的资助。在提案中，Nasir提出使用切比雪夫多项式来研究“余弦变换”——也就是后来大名鼎鼎的DCT：

 

 

但令他非常失望的是，NSF 并没有为该提案提供资金，其中一位审查者给出的原因竟然是“太简单”。

 

不过Nasir并没有放弃，他找到了他的博士生T. Natarajan和他的朋友K.R.Rao，1973年的整个夏天，他们都在研究这一问题。最终，他们的研究有了结果，但这个结果好得让Nasir不敢相信。正巧之后Nasir要和Harry Andrews（美国数学家）一起出席新奥尔良的一个数学会议，所以Nasir决定在会上向他请教。

 

Harry Andrews建议Nasir使用率失真标准来检查这个“余弦变换”的性能，并发给他一个计算机程序帮助他计算结果。

 

最终，结果再次表明，DCT变换比其他所有变换都表现得更好，在性能上也与KLT十分接近。随后Harry Andrews建议Nasir发表这一成果。Nasir听从了他的建议，将论文以信件的形式发给了IEEE Computer Transactions（IEEE的通讯期刊），并在1974年1月获得发表。

 

据Nasir后来回忆，当初谁也没有想到DCT会在未来造成如此大的轰动。

 

DCT的重要性和其被发现的时间远不匹配，以至于Gilbert Strang在一篇1999年的论文中写道：“离散问题是如此之寻常，而且几乎是一个不可避免的问题，而让人异常惊讶的一个事实在于，业界直到1974年才由Nasir Ahmed等人发现了DCT。”最近也有一些研究证据表明，虽然DCT由 Ahmed 等人开发是一个无可置疑的事实，但冯诺依曼（John von Neumann）在1941年左右也对DCT做了一些开创性的研究，不过冯诺依曼自身可能并未意识到其重要性。

DCT的实现简介

DCT有8种形态，我们通常所说的DCT，其实指的是DCT-II，其对应的反变换是DCT-III。DCT-II、DCT-III的原始定义非常简单：

 

其中：

X：X 是DCT输出.

x：x 是DCT输入.

k：k 是计算结果的输出数据索引, 从 0 to N−1

N：N  变换元素的数目.

s：s是缩放函数, 除去s(0)=0.5，其他s(y)=1

原始的N点的DCT-II变换算法最朴素的实现大概可以这样：

void dct_ii(int N, const double x[], double X[]) {
  for (int k = 0; k < N; ++k) {
    double sum = 0.;
    double s = (k == 0) ? sqrt(0.5) : 1.;
    for (int n = 0; n < N; ++n) {
      sum += s * x[n] * cos(PI * (n + 0.5) * k / N);
    }
    X[k] = sum * sqrt(2.0 / N);
  }
}

 

随后，DCT的一些快速算法陆续被开发出来，其中最引入注目的大概是LLM DCT(LLM 来自于三位对应算法的作者：Loeffler、Ligtenberg和 Moschytz，其论文“Practical Fast 1-D DCT Algorithms with 11 Multiplications”)和AAN DCT(AAN 的名字也来自于三位算法作者: Arai、Agui 和 Nakajima，其对应的论文是“A fast DCT-SQ scheme for images”）。

 

LLM DCT的算法流程如下：

 

 

它引入了非常经典的蝶形：

 

 

需要注意的是，LLM DCT的算法论文中，蝶形图的标识说明里面还有一个明显的错误在上面，其描述中，O1 均出现两次，明显第一个应该是O0。

 

AAN DCT的计算流程如下，该算法使用了五个乘法（加上八个用于缩放的后乘法，文章中认为这不算，因为它们可以被移到后面的量化矩阵中被平摊掉）。

 

 

以H.264标准为例，它实际上是把DCT 变换和后续的量化放在了一起，以减轻DCT变换计算的复杂度，所以有时候看H.264的DCT变换系数，你甚至第一眼很难想象它其实是个DCT的变换；从H.264的时代开始，DCT的变换开始使用整数变换，避免类似MPEG2年代因不同DCT、IDCT实现精度带来的编码、解码不完全匹配的问题。

 

DCT的应用

DCT的去相关和能量压缩特性使其在图像和视频压缩中极具吸引力。Karhunen-Loève变换（KLT）通常被称为理想变换，具有更好的去重特性，但在计算上是难以解决的。另一方面，DCT很容易编程，这使得它迅速占领了图像和视频压缩领域。现在常见的图片、视频压缩，如JPEG、H.26X、MPEG等，都用到了DCT。

 

下列表格中是DCT在图像和视频压缩中的应用（表格来自：https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_cosine_transform）

图像

 

图像压缩标准	发布年份	常见应用
JPEG	1992	应用最广泛的图像压缩标准和数字图像格式
JPEG   XR	2009	由微软开发，同时支持无损和有损压缩，是XPS的首选图像格式
WebP	2010	由谷歌开发，支持数字图像有损压缩
HEIF	2013	基于HEVC的图像压缩格式，支持动画，在压缩方面，比GIF更高效
BPG	2014	基于HEVC压缩
JPEG   XL	2020	免版税，支持无损和有损压缩，光栅图形文件格式

 

视频

 

视频编码标准	发布年份	常见应用
H.261	1988	第一个正式的视频压缩标准，常用于过去的视频会议和视频电话产品
MJPEG	1992	QuickTime、视频编辑、非线性编辑、数码相机
MPEG-1	1993	CD、互联网视频
MPEG-2（H.262）	1995	广播、数字电视、HDTV、有线、卫星、高速互联网、DVD中存储和处理数字图像
DV	1995	摄像机、数字磁带
H.263   (MPEG-4 第二部分)	1996	PSTN、H.320和ISDN上的视频电话会议
AVC /   H.264 / MPEG-4	2003	最常见的高清视频录制/压缩/分发格式，应用于互联网视频、YouTube、蓝光光盘、高清电视广播、Web浏览器、流媒体电视、移动设备、消费设备、Netflix、视频电话、Facetime等
Theora	2004	网络视频、Web浏览器
VC-1	2006	Windows媒体、蓝光光盘
Apple   ProRes	2007	专业视频制作
WebM   Video	2010	由谷歌开发的多媒体开源格式，目的是和html5一起使用
HEVC /   H.265	2013	继H.264/   MPEG-4 AVC 之后的下一代编码标准，显著改进压缩能力
Daala	2013	由Xiph.Org   基金会开发，目标是在性能上超越H.265和VP9
H.266/VVC	2020	最新发布的压缩标准，主要面向4K和8K视频服务

 

Nasir近况

今年二月份，在热播美剧《我们的生活》（This is Us）第5季第8集中，穿插了一段“艾哈迈德夫妇的故事”。这段故事取材于现实，讲述的正是Nasir和他的太太Esther之间发生的事。两人是新墨西哥大学的校友，在一次大学国际学生聚会中偶然结识并相恋，然后步入了婚姻殿堂，并且一直相知相守到今天。2018年，Nasir和Esther还出版了一本讲述他们生活故事的限量版图书——Parallel Lives In Curved Space。去年，两人庆祝了他们的结婚56周年纪念日。

 

《我们的生活》剧组工作人员正在和Nasir、Esther视频对话

 

为什么要在《我们的生活》剧集中穿插这样一段故事？

 

原来导演是想通过这个故事向DCT技术的发明者Nasir Ahmed致敬。如果没有Nasir，剧中的皮尔森一家不可能在新冠疫情期间通过视频会话保持联系，慰藉彼此。

 

现实中的我们也是一样。

参考文献：

1. Y. Arai, T. Agui, and M. Nakajima, “A fast DCT-SQ scheme for images,” IEICE Transactions, vol. E71, pp. 1095–1097, Nov. 1988. 1, 8, 9, 10, 11

2. C. Loeffler, A. Ligtenberg, and G. S. Moschytz, “A practical fast 1-D DCT algorithms with 11 multiplications,” in International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol. 2, pp. 988–991, May 1989. 1, 4, 9, 10 

3. N. Ahmed and K. R. Rao, Orthogonal Transforms for Digital Signal Processing. New York,NY: Springer-Verlag, 1975. 1, 10

4. Ahmed, Nasir; Natarajan, T.; Rao, K. R. (January 1974), "Discrete Cosine Transform" (PDF), IEEE Transactions on Computers, C-23 (1): 90–93, doi:10.1109/T-C.1974.223784

5. Ahmed, Nasir (January 1991). "How I Came Up With the Discrete Cosine Transform". Digital Signal Processing. 1 (1): 4–5. doi:10.1016/1051-2004(91)90086-Z.

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