动态规划 最长上升子序列模型——进阶

Posted 2021-09-05 a碟

最长上升子序列模型

• 拦截导弹
• 导弹防御系统
• 最长公共上升子序列

拦截导弹

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。

但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。

某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。

由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数，导弹数不超过1000），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入格式
共一行，输入导弹依次飞来的高度。

输出格式
第一行包含一个整数，表示最多能拦截的导弹数。

第二行包含一个整数，表示要拦截所有导弹最少要配备的系统数。

数据范围
雷达给出的高度数据是不大于 $30000$ 的正整数，导弹数不超过 $1000$。

输入样例：

389 207 155 300 299 170 158 65

输出样例：

6
2

分析： 这个题有两个小问，第一是问最多能拦截多少导弹，而我们一次能够拦截的导弹要求是后一发不能高于前一发，也就是说要求一个最长非严格递减子序列。
第二问拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统，也就是求最少有多少个最长非严格递减子序列。这一问我们要使用贪心的策略。
策略如下:
从前往后扫每一个数，对于每个数
1.如果现在的所有子序列的结尾都小于当前的数（也就是说当前的导弹无法被现有的任何拦截系统拦截），则创建新的子序列
2.将当前数放在结尾大于等于它的最小的子序列的后面，这样我们就让所有序列剩下的能够放的数字尽可能的多
这样的贪心策略是最优的，简单证明一下。
如何证明两个数相等？
$A>=B,B>=A=>A=B$
$A$：贪心所得到的序列的个数
$B$：最优解（最少的序列个数）
$A>=B$是显然成立的，因为B是最优解
证明：$B>=A$：（调整法）
假设最优解对应的方案和当前方案不同。
找到第一个不同的数。

假设我们贪心法的x和最优解的x放在了上图的位置，那么有x<=a<=b，我们显然可以将a后面的一段和b后面的一段交换位置，这样是不会影响最后的最优解的。所以我们经过很多次的变化，我们没有增加子序列的个数，可以将贪心法变换到最优解的情况。所以得到A>=B。所以我们就可以按照这样的贪心策略来求最优解。
实际上这有一个Dilworth定理，可以自行搜索。
实现方法：我们维护一个数组ans，存储每一个序列的最后一个值，每一次增加一个数，如果当前数比ans中的所有数都大，也就是说当前的导弹无法被现有的任何拦截系统拦截，那么我们就要新开一个序列来存这个值。
否则，找到ans中比当前数大的数的最小值，替换ans数组中的这个值为当前数。
不难看出，ans数组是一个单调递增序列，可以使用二分来简化时间复杂度。
而这样的贪心策略和我们的最长递增子序列的贪心求解法$O(nlogn)$是一样的。所以第二问可以转化为求一个严格最长递增子序列。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int ans[1005],n,a[1005],k;
int main()
{
    while(~scanf("%d",&a[++n]));
    n--;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int id=upper_bound(ans,ans+k,a[i],greater<int>())-ans;
        if(id<k)ans[id]=a[i];
        else ans[k++]=a[i];
    }
    printf("%d\\n",k);
    k=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int id=lower_bound(ans,ans+k,a[i])-ans;
        if(id<k)ans[id]=a[i];
        else ans[k++]=a[i];
    }
    printf("%d\\n",k);
    return 0;
}

导弹防御系统

为了对抗附近恶意国家的威胁，$R$ 国更新了他们的导弹防御系统。

一套防御系统的导弹拦截高度要么一直 严格单调 上升要么一直 严格单调 下降。

例如，一套系统先后拦截了高度为 3 和高度为 4 的两发导弹，那么接下来该系统就只能拦截高度大于 4 的导弹。

给定即将袭来的一系列导弹的高度，请你求出至少需要多少套防御系统，就可以将它们全部击落。

输入格式
输入包含多组测试用例。

对于每个测试用例，第一行包含整数$n$，表示来袭导弹数量。

第二行包含 $n$ 个不同的整数，表示每个导弹的高度。

当输入测试用例 $n=0$ 时，表示输入终止，且该用例无需处理。

输出格式
对于每个测试用例，输出一个占据一行的整数，表示所需的防御系统数量。

数据范围
$1\le n\le 50$

输入样例：
5
3 5 2 4 1
0

输出样例：
2

样例解释
对于给出样例，最少需要两套防御系统。

一套击落高度为 $3,4$ 的导弹，另一套击落高度为 $5,2,1$ 的导弹。

分析： 这个题相比于上一个题，多了一个条件，也就是导弹拦截系统拦截的导弹既可以一直严格单调上升，也可以严格单调下降。而且$n$最大也才$50$。我们可以直接搜索，我们先考虑搜索顺序
搜索顺序分为两个阶段：

• 从前往后枚举每颗导弹属于某个上升子序列，还是下降子序列；
• 如果属于上升子序列，则枚举属于哪个上升子序列（包括新开一个上升子序列）；如果属于下降子序列，可以类似处理。

用$up[k]$和$down[k]$记录第k套上升（下降）系统目前所拦截的最后一个导弹
$dfs(t,u,v)$意味着已有$u$个上升，$v$个下降，正在处理第$t$个数
放在上升/下降系统中的哪个位置和上一道题目所找的方法是一样的。
注意:

• $up$数组所存的是严格单调上升的导弹系统的最后一个数，上升导弹系统的最后一个数是非严格递减的
• $down$数组所存的是严格单调下降的导弹系统的最后一个数，下降导弹系统的最后一个数是非严格递增的

可以看出，我们的搜索空间好像挺大的，如果我们当前两种系统的数量已经大于等于最优值了，我们可以剪枝。其实这个题手写二分常数会小一些，跑的会快很多。或者直接顺序搜索第一个小于$x$的数，第一个大于$x$的数，对于这个题来说也会快一些（应该是数据的原因）。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int n,ans=105;
int a[55],up[55],down[55];
void dfs(int cnt,int up_num,int down_num){
    if(up_num+down_num>=ans)return ;
    if(cnt==n+1){
        ans=up_num+down_num;
        return ;
    }
    //将当前数放在严格单调上升的导弹系统中，上升导弹系统的最后一个数是非严格递减的
    int id=upper_bound(up,up+up_num,a[cnt],greater<int>())-up,temp;
    if(id<up_num)temp=up[id],up[id]=a[cnt],dfs(cnt+1,up_num,down_num),up[id]=temp;
    else up[up_num]=a[cnt],dfs(cnt+1,up_num+1,down_num);
    //将当前数放在严格单调下降的导弹系统中，下降导弹系统的最后一个数是非严格递增的
    id=upper_bound(down,down+down_num,a[cnt])-down;
    if(id<down_num)temp=down[id],down[id]=a[cnt],dfs(cnt+1,up_num,down_num),down[id]=temp;
    else down[down_num]=a[cnt],dfs(cnt+1,up_num,down_num+1);
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n)){
        if(n==0)break;
        ans=105;
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        dfs(1,0,0);
        printf("%d\\n",ans);
    }
    return 0;
}

最长公共上升子序列

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。

小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。

小沐沐说，对于两个数列 $A$ 和 $B$，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。

奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。

不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

数列 $A$ 和 $B$ 的长度均不超过 $3000$。

输入格式
第一行包含一个整数 $N$，表示数列 $A$，$B$ 的长度。

第二行包含 $N$ 个整数，表示数列 $A$。

第三行包含 $N$ 个整数，表示数列 $B$。

输出格式
输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围
$1\le N\le 3000$,序列中的数字均不超过 $2^{31}-1$。

输入样例：
4
2 2 1 3
2 1 2 3

输出样例：
2

分析： 动态规划题，结合了LIS和LCS，在状态表示和状态计算上融合了两者
状态表示：

• $dp[i][j]$代表所有$a[1-i]$和$b[1-j]$中以$b[j]$结尾的公共上升子序列的集合；
• $dp[i][j]$的值等于该集合的子序列中长度的最大值；

状态计算（对应集合划分）：
首先依据公共子序列中是否包含$a[i]$，将$dp[i][j]$所代表的集合划分成两个不重不漏的子集：

• 不包含$a[i]$的子集，最大值是$dp[i-1][j]$；
• 包含$a[i]$的子集，将这个子集继续划分，依据是子序列的倒数第二个元素在b[]中是哪个数：
• 子序列只包含$b[j]$一个数，长度是1；
• 子序列的倒数第二个数是$b[1]$的集合，最大长度是$dp[i-1][1]+1$；
  …
• 子序列的倒数第二个数是$b[j-1]$的集合，最大长度是$dp[i-1][j-1]+1$；

如果直接按上述思路实现，需要三重循环：见下面代码中的第一个

这样肯定会超时，我们需要优化，每次循环中，我们要更新的$d以上是关于动态规划\; 最长上升子序列模型——进阶的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章$

动态规划之最长上升子序列模型

动态规划之最长上升子序列模型

300. 最长上升子序列-动态规划

300. 最长上升子序列-动态规划

动态规划——最长上升子序列

动态规划——最长公共上升子序列（C++）