杭电多校第八场05_Separated Number（组合数前缀和性质）

Posted 2021-09-05 hesorchen

题目

Separated Number

给出一个数位为$n$的数字$(n<=1e6)$，现在可以将该数字最多分成$k(1<=k<=n)$段。定义一种分法的贡献为所有段的数字之和，求所有分法的贡献和。

例如对于样例，答案为$1+1+10+100=112$

3
100

1|0|0 :1+0+0=1  
1|00  :1+0=1  
10|0  :10+0=10  
100   :100

比较容易想到的一种解法是对于每一位，计算它作为个位、十位… …的贡献和。

例如要对于数字$123456$，最多可以分成$6$段，要计算$3$作为十位的贡献次数。 我们需要在$4$后面分割一次，还剩下最多$k-2$次分割机会和$n-3$个可分割点，方案数显然就是$C_{n-2}^0+C_{n-2}^1+......+C_{n-3}^{k-2}$。

在这之前，需要先掌握组合数前缀和的知识。

递推组合数前缀和

我们先来证明以下公式

$C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$

证明：

$C_n^m=\frac{(n)!}{(n-m)!\times (m)!}$

$C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m=\frac{(n-1)!}{(n-m)!\times (m-1)!}+\frac{(n-1)!}{(m)!\times (n-m-1)!}=\frac{m\times (n-1)!}{(n-m)!\times (m)!}+\frac{(n-m)\times (n-1)!}{(n-m)!\times (m)!}=\frac{(n)!}{(n-m)!\times (m)!}=C_n^m$

上面的公式在杨辉三角递推组合数中有所应用。

记$F(n,m)={\sum }_{i=0}^m{C}_n^m$，可以发现，这在杨辉三角中体现为某一列的前缀和。

有以下两个递推式：

$$F(n,m)=F(n,m-1)+C(n,m)$$

$$F(n,m)=2\times F(n-1,m)-C(n-1,m)$$

第一个公式很显然，前缀和的性质，也就是杨辉三角某一行前$m-1$个数的和再加上第$m$个数，显然就是前$m$个数的和。

第二个公式也不难，回想一下杨辉三角递推组合数的方式，除了最后一个数，其他数都被加了两遍。

好了， 到这为止，我们已经掌握了递推组合数前缀和。

解题

考虑算每一位对答案产生的贡献，假设这一位为$d(0<=d<=9)$，那么他能产生的贡献就是$d\times 10^j\times num$，其中，$num$为让$d$产生$10^j$的位权的分法总方案数。

要使$d$产生$10^j$的位权，记$d$的下标为$i$，那么我们应在第$i+j$位后面进行一次分割，剩下的分割点和分割次数就会产生若干方案数。

将$i+j$分三种情况讨论：

1. $i+j>n$，不合法的方案，无贡献。
2. $i+j=n$，合法的方案，$i$