树及二叉树

Posted 2021-09-05 The August

树及二叉树

• 树概念及结构
• • 树的概念
  • 树的相关概念
  • 树的表示
  • 树在实际中的运用
• 二叉树概念及结构
• • 概念
  • 现实中的二叉树及结构
  • 特殊的二叉树
  • 二叉树的性质

树概念及结构

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

树的相关概念

• 节点的度：一个节点含有的子树（子节点）的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4（高度是从一开始计时的，而不是零）
  注意： 树的高度或深度如果从0开始算，那么空树就是-1；如果从1开始算，那么空树就是0；
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林（并查集就是一个森林）

树的表示

前言：想要表示树，可是不知道树的度就很难定义树的结构体；除非说明树的度是多少（如果说明可以定义结构体指针数组）；如果没定义可以用顺序表（但内存消耗过大）
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
eg：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
struct TreeNode
{
	int data;
	struct TreeNode* parent
};
//双亲表示法（但不实用）

最实用的：左孩子右兄弟表示法（孩子兄弟表示法）

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 左边开始的第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个（右边）兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

示意图：

树在实际中的运用

表示文件系统的目录树结构（文件系统就是一棵树）
示意图：

二叉树概念及结构

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
   示意图：
   

注意：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
   3.对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的（这些又称为二叉树）：
   

现实中的二叉树及结构

特殊的二叉树

1.满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K（层数从1开始计算），且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树（每一层都是满的）。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。
3. 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树（最后一层满）。
4. 完全二叉树：前K-1层都是满的，最后一层不满，但是最后一层从左到右必须是连续的。
5. 完全二叉树不一定是满二叉树
6. 完全二叉树的节点个数范围是[2^(k-1) ， 2^k-1]

示意图：

二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h-1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝n2 ＋1.
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log2（n+1）. (ps：log2（n+1） 是log以2为底，n+1为对数)
5. 完全二叉树中度为一的至少有0个，最多有1个