最大加权独立集问题

Posted 2021-09-05 软件工程小施同学

若加 权图 Ｇ＝ｆＶ，目的顶点集  的子集  中的任何 顶点  之间都不相邻 ，则称  为 图 Ｇ的独立集 ，顶点个数最多的独  立集称为最大独立 集。各顶点权 重之和最大 的独立集称为图  Ｇ的最大加权独立集 。如图 １所示 ，顶点集合 （４，３，１）是该图  的一个独立集， 且是最 大独立集 ，但不是最大加权独立集 。  顶点集合（５，２）是独立集，且是最大加权独立集 。最大加权独  立集 问题 已被证明为是个 ＮＰ完全问题。

 

一棵树，每个点有一个权值，选择一个权值最大的无父子节点点集。

关键词：树的最大”权值“独立集

f[i][0]：以i为根的子树不选根节点最大权值，

f[i][1]：以i为根的子树选根节点最大权值

f[u][1]+=f[v][0];

f[u][0]+=max(f[v][1],f[v][0]);

注：

1.若所有点的权值都大于0，则树的最大”权值“独立集也是极大点独立集，即任选两个点，一定有且仅有一个在该集合中。若存在点的权值小于0，则不一定成立。

变题：选择一个无祖先与后代节点的最大权值点集

f[u]:以i为根的子树的最大权值

f[u]=max{ w[u],sum{f[v]},v是u的孩子 } 两个选择：当前节点/后代，两个选择互斥

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
#define ll long long
#define sf scanf
#define pf printf
#define maxn 10000
#define inf 0x3f3f3f
#define INF 1ll<<60
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
 
 
int n;
int a[maxn],du[maxn];
 
struct Edge{
    int to,next;
}edge[maxn];
int head[maxn],tot;
int f[maxn][2];//f[u][0]：子树不含u的最大欢乐值 f[u][1]：子树含u的最大欢乐值
 
void add(int a,int b){
    edge[tot].to=b,edge[tot].next=head[a],head[a]=tot++;
}
 
void dp(int u){
    f[u][1]=a[u],f[u][0]=0;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].to;
        dp(v);
        f[u][1]+=f[v][0];
        f[u][0]+=max(f[v][1],f[v][0]);
    }
}
 
int main(){
    //freopen("a.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    mem(head,-1),mem(du,0),mem(f,0),tot=0;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(b,a);
        du[a]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!du[i]) {dp(i);printf("%d\\n",max(f[i][0],f[i][1]));break;}
}

原文链接：https://blog.csdn.net/u013514182/article/details/42202021