最大团问题和最大独立子集

Posted 2021-09-05 软件工程小施同学

不要去百度百科找最大团，因为你会找到一个团购网站= =
维基百科：https://en.wikipedia.org/wiki/Clique_problem

首先，团是什么呢？
团就是一个点集，点集中任意两点都有直接的边相连
举个栗子：
图中红色的点构成了一个团，当然单独一个点也算是一个团。

那么，独立子集又是什么呢？
和团正好相反，独立子集也是一个点集，但是任意两点之间都没有直接的边相连……
再举个栗子……

图中绿色的点构成了一个独立子集，你说一个点是一个独立子集我也没意见……

那么，最大团和最大独立子集怎么求呢？
首先最大独立子集和最大团正好相反，所以最大独立子集的数目就是这个图的“补图”的最大团……
(补图就是一张图有边的改成没边，没边的改成有边……)
于是最大独立子集问题转化成最大团问题

最大团又怎么求呢？？？
最大团其实是个NP完全问题……目前常用的算法是搜索+优化和随机化……
这里介绍随机化算法(适合懒人……)
把点组成随机组成一个排列，然后从前往后暴力找……首先第一个点可以组成一个最大团，然后加入第二个，看看是不是，如果是，加入第三个，如果不是，不加入第二个，直接加入第三个……这样跑一边是n^2的，但是答案并不一定正确，所以需要多次随机，然后取max……
这样的准确性还是挺高的，代码也不难打，这里还是贴出来吧……(代码风格鬼畜，请做好心理准备！！！)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;
bool a[120][120];
int b[120];
bool p[120];
int n,m,x,y;

void RANDOM()
{
    srand(time(0));
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        swap(b[i],b[rand()%n+1]);
    return ;
}

int JUDGE()
{
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        p[i] = 0;
    int ans = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        if(!p[i])
        {
            ans ++;
            for(int j = i+1;j <= n;j ++)
            {
                if(!a[b[i]][b[j]])
                    p[j] = 1;
            }
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= m;i ++)
    {
        cin >> x >> y;
        a[x][y] = 1;
        a[y][x] = 1;
    }
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        b[i] = i;
    int maxn = 0;
    for(int i = 1;i <= 1000;i ++)
    {
        RANDOM();
        maxn = max(maxn,JUDGE());
    }
    cout << maxn << endl;
    return 0;
}

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