树分解 tree decomposition

Posted 2021-09-05 软件工程小施同学

树分解，属于分解法（Decomposition Method）的一种，也被称为集团树，连接树和连接树，是将图形映射到相关树（Related Tree）的一种方法。

它的主要特性是可以有效地计算原始图的某些属性（例如，独立多项式）。

图的树分解不是唯一的，也不需要与原始图同构。

树分解常常与树的宽度（Treewidth，简称树宽）的概念联系在一起。

在最佳树分解中，映射到任何树顶点的原始图顶点数被称为树宽。

如图所示，假设现有图G =（V，E），G的树分解是一对（T，χ），其中T =（N，F）是树，并且χ：N→2V为每个节点分配一组顶点 （称为节点的包），满足以下条件：

1.对于每个顶点v∈V，存在节点i∈N使得v∈χ（i）。

2.对于每一条边（v，w）∈E，存在一个i∈N且v∈χ（i）且w∈χ（i）。

3.对于每个i，j，k∈N：如果j位于i和k之间的路径上，则χ（i）∩ χ（k）⊆ χ（j）。

树分解的宽度定义为maxi∈N| x（i）| -1，并且图的树宽是所有树分解中的最小宽度。

该图例对应的树分解如下图所示。

AI中的寻路算法主要分盲目式搜索和启发式搜索两种，同图论中的最短路径问题相联系，在图论的数据结构上进行实现。图论中的深度优先搜索算法（DFS）和广度优先搜索算法（BFS）以及Dijksrta最短路径贪心算法都属于盲目式搜索算法。

在AI和概率推理领域中，树分解又称为团树，可以用来提高推理效率，并且给约束满足问题（constraint satisfaction problem）和 NP-hard 问题提供了求解答案，提高了图论在AI方面的效率，比如优化了机器人寻路的方案。

【描述来源：Abseher, M., Dusberger, F., Musliu, N., & Woltran, S. (2015). Tree Decomposition Features.】

树分解法可用于求解约束满足问题（constraint satisfaction problem）和 NP-hard 问题，目前更专注于生成最小宽度的树分解，未来更适合用于社交图数据（social graph data）的处理，有利于改进图形建模和改进对现实网络数据的推理。

https://www.jiqizhixin.com/graph/technologies/cd487b54-433c-4fc2-bf3a-b52c49c413e0