2020牛客多校2 - Exclusive OR(FWT)

Posted 2021-09-05 Frozen_Guardian

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题目大意：给出 $n$ 个数，可以重复选择，问选择 $k\in [1,n]$ 个数时，最大的异或和是多少

题目分析：

官方题解：
🕊了一年的题

如何卷呢？令多项式 $F(x)=\sum _{i=0}^{\infty }{a}_i{x}^i$ 表示可达状态，初始时 $a_i=1$ 表示数字 $i$ 是可达的

那么设 $G_k=\sum _{i\oplus j=k}{F}_i\ast F_j$，不难看出 $G^{n-1}$ 就是选择 $n$ 个数异或后的可达状态，从这些状态中找到最大值就是本题所求了

所以枚举 $G^{n-1}$ 的 n = { 1 , 2 , ⋯   , 19 } n=\\{1,2,\\cdots,19\\} n={1,2,⋯,19} ，就可以用 FWT 求解答案了

代码：

// Problem: Exclusive OR
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5667/E
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
const int mod=998244353;
int len=1<<18;
LL a[N],b[N];
int ans[N];
void FWTxor(LL *f,int x)
{
	for(int mid=1;(mid<<1)<=len;mid<<=1)
	{
		int R=mid<<1;
		for(int i=0;i<len;i+=R)
			for(int j=0;j<mid;j++)
			{
				f[i+j]=(f[i+j]+f[i+j+mid])%mod;
				f[i+j+mid]=(f[i+j]-f[i+j+mid]+mod-f[i+j+mid]+mod)%mod;
				f[i+j]=f[i+j]*x%mod;
				f[i+j+mid]=f[i+j+mid]*x%mod;
			}
	}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	read(n);
	for(int i=1,x;i<=n;i++) {
		read(x);
		a[x]=b[x]=1;
	}
	FWTxor(b,1);
	for(int i=1;i<=19;i++) {
		for(int j=0;j<len;j++) {
			if(a[j]) {
				ans[i]=j;
			}
		}
		FWTxor(a,1);
		for(int i=0;i<len;i++) {
			a[i]=a[i]*b[i]%mod;
		}
		FWTxor(a,(mod+1)>>1);
	}
	for(int i=20;i<=n;i++) {
		ans[i]=ans[i-2];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		printf("%d ",ans[i]);
	}
	puts("");
	return 0;
}