《算法竞赛中的初等数论》正文 0x60 原根（ACM / OI / MO）（二十万字符数论书）

Posted 2021-09-05 繁凡さん

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了《算法竞赛中的初等数论》正文 0x60 原根（ACM / OI / MO）（二十万字符数论书）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

整理的算法模板合集： ACM模板

点我看算法全家桶系列！！！

实际上是一个全新的精炼模板整合计划

写在最前面：本文部分内容来自网上各大博客或是各类图书，由我个人整理，增加些许见解，仅做学习交流使用，无任何商业用途。因个人实力时间等原因，本文并非完全原创，请大家见谅。

《算法竞赛中的初等数论》（六）正文 0x60 原根（ACM / OI / MO）（二十万字符数论书）

全文目录索引链接： https://fanfansann.blog.csdn.net/article/details/113765056

本章只简单涉及了一些原根的性质和应用，具体原根更详细的性质证明详见：https://oiwiki.org/math/number-theory/primitive-root/#_7

定义： 若 $a$ ， $p$ 为正整数，且 $g c d (a, p) = 1$ ，称满足 $a^r \\equiv 1 \\ (mod \\ p)$ 的最小正整数 $r$ 为 $a$ 模 $p$ 的阶 ，记作 $ord_p\\ a$ 。

我们可以将整数的阶理解为 $a\\%p$ 下的阶 $t$ 相当于 $a\\%p$ 的循环节，每次乘上 $a^t$ ，值都不变。

● 基本性质

性质61.1.1： 由欧拉定理 $a^{\\varphi(p)} \\equiv1\\ (\\mod p)$ ，故可以得到阶 $\\ |\\ \\varphi(p)$ 。

性质61.1.2： 如果 $a$ 是 $p$ 互素的整且 $p > 0$ ，则正整数 $x$ 是同余式 $a^x \\equiv\\ (\\mod p)$ 的一个解当且仅当 $ord_p\\ a\\ |\\ x$ 。

性质61.1.3： 如果 $a$ ， $n$ 是互素的整数且 $n > 0$ ，那么 $a^i \\equiv a^j(\\mod p)$ ，当且仅当 $\\equiv j(\\mod ord_p\\ a)$ ，其中 $i$ 和 $j$ 是非负整数。

因为 $a$ 的阶 $r$ ， $a^r \\equiv 1\\ (\\mod p)$ ， $a^i \\equiv a^j(\\mod p)$ 两边同余两边一直除以 $a^r$ ，相当于同时减去 $r$ ，所以 $\\equiv j(\\mod ord_p\\ a)$ 的正确性显然。

性质61.1.4： 设 $a$ 关于模 $p$ 的阶为 $r$ ，则 $a^0,a^1,a^2,\\cdots,a^{r-1}$ 互不相同。

定义： 若 $Ord_p(a)=\\varphi(p)$ ，则称这样的 $a$ 为模数 $p$ 的原根，记作 $R t (p) = a$ 。

原根就是特殊情况的阶。

理解： 对于模数 $p$ ，找到一些数 $a$ ，满足 $a$ 的次方循环节恰好为 $\\varphi(p)$ ，这些数就是模数 $p$ 的原根

-● 基本性质定理：

定理61.2.1： 如果 $r$ 和 $n$ 互质且 $n > 0$ ，则如果 $r$ 是模 $n$ 的一个原根，那么下列整数：

$a,a^2\\cdots a^{\\varphi(n)}$

构成了模 $n$ 的既约剩余系（简化剩余系）并且有 $p - 1$ 个，也就是恰好为 $1\\cdots p-1$ 中与 $p$ 互质的数的一个排列，对应着欧拉函数的定义。

即可以得到：若 $p$ 为素数，对于模 $p$ 的原根 $g$ ，满足 $g^1,g^2,\\cdots,g^{p-1}$ ，在模 $p$ 的意义下，互不相同。（这点非常重要，引申出了 0x64.1的乘法换加法算法）

性质61.2.2： 若一个正整数 $n$ 有原根，则其有 $\\varphi(\\varphi(n))$ 个原根。

性质61.2.3： $x^d\\equiv 1\\pmod p$ 恰好有 $d$ 个解 $(d ∣ (p - 1))$

性质61.2.3： 如果 $ord_p\\ a=t$ 并且 $u$ 是一个正整数，那么有 $ord_p(a^u)=\\cfrac{t}{gcd(t,u)}$