学习笔记-树状数组(21.8.11)
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了学习笔记-树状数组(21.8.11)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
二进制真的牛,以前做比赛训练题的时候经常发现一些大神用二进制角度巧妙问题,自己觉得挺难也没太深入了解,树状数组算是新区域的一次探索。虽然平时习惯了十进制角度想问题,二进制觉得别扭,但学起来发现并没有想象中的那么难,新知识get成功,接下来还需要多训练多总结多消化。关于奇妙的二进制,继续遇到,继续学习。
一、树状数组
常用于处理以下情况:一是修改某元素的值;二是求某段区间的和。
处理问题上比线段树更高效。
二、操作
1.求和运算(区间查询)
•lowbit()操作
lowbit(x)=x&-x,用于找到x的二进制的最后一个1。
补充:•补码:
•正数的补码和原码相同
•负数的补码:将该数的绝对值的二进制形式按位取反再加上1
•&操作:
•1&1=1;0&0=0;0&1=0;1&0=0
即:同1为1,否则为0
•与运算特殊用途:清零、取一个数中指定位详细解释
从lowbit(x)到tree[]数组
令m=lowbit(x),用tree[x]表示ax和他前面m个数相加,如下图:tree[4]=a1+a2+a3+a4
下图中:横线上黑色部分为tree[x],等于横线上的元素的相加和,类似一棵二叉树
求sum=a1+a2+…+ax,即求tree[x],从上图可得:sum[7]=tree[7]+tree[6]+tree[4]
原理就是:从7开始加tree[7],7-lowbit(7)=6所以加上tree[6],6-lowbit(6)=4再加上tree[4],4-lowbit[4]=0结束。
换一种理解7的二进制为111,首先加本身tree[7],右边第一个一变零为110即6,加tree[6],然后右边第一个一变零100即4,加tree[4],再右边第一个一变成0结束。
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
int sum(int x)
{
int sum=0;
while(x>0)
{ sum+=tree[x];
x-=lowbit(x);
}
return sum;
}
2.修改元素(单点修改)
修改元素ax,与之相关的tree[]都需要改变。
如:修改tree[2],2+lowbit(2)=4修改tree[4],4+lowbit(4)=8修改tree[8]…修改tree[n]
另一种理解2的二进制为10,末位为0先修改本身tree[2],右边补0为100即4,修改tree[4],继续末位补0;但如果一开始修改的数是3二进制为11,末位为1,先修改本身tree[3],然后把二进制11加1变成100即4,修改tree[4],继续末位补0操作。
以下代码:修改的值为d
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
void add(int x,int d)
{
while(x<=n)
{
tree[x]+=d;
x+=lowbit(x);
}
}
Lost Cows
题意:编号1~n的数字乱序排列,每个位置的数字知道前面比它小的数字个数,求乱序数列。
线段树做法
例子:
树状数组做法,让pre[i]+1=sum(x),sum(x)中的x就是上图的ans[n],也就是第几个数字。
建树,让tree[i]=lowbit(i),每找到一个数字i,就要把tree[i]及相关tree减1,通过add(x,-1)实现
•为什么用tree[i]=lowbit(i)建树?
tree[1]=1 | sum[1]=tree[1]=1 |
tree[2]=2 | sum[2]=tree[2]=2 |
tree[3]=1 | sum[3]=tree[2]+tree[3]=3 |
tree[4]=4 | sum[4]=tree[4]=4 |
tree[5]=1 | sum[5]=tree[5]+tree[4]=5 |
发现sum的值就是数列中第几个数字,如果数列不是从1开始,比如2~5
sum[1]=0 | tree[1]=0 |
sum[2]=1 | tree[2]=1 |
sum[3]=tree[2]+tree[3]=2 | tree[3]=1 |
sum[4]=tree[4]=3 | tree[4]=3 |
sum[5]=tree[5]+tree[4]=4 | tree[5]=1 |
与上表相比tree[1]-1;tree[2]-1;tree[4]-1,即add(1,-1),所以每次找到一个数字x,都要进行add(x,-1)更新tree[]
•怎么找sum(x)中的x?
可以通过二分法搜索x
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
using namespace std;
const int Max = 10000;
int tree[Max], pre[Max], ans[Max];
int n;
void add(int x, int d) {
while(x <= n) {
tree[x] += d;
x += lowbit(x);
}
}
int sum(int x) {
int sum = 0;
while(x > 0) {
sum += tree[x];
x -= lowbit(x);
}
return sum;
}
int findpos(int x)//寻找sum(x) = pre[i]+1所对应的x
{
int l = 1, r = n;
while(l < r) {
int mid = (l+r) >> 1;
if(sum(mid) < x)
l = mid + 1;
else
r = mid;
}
return l;
}
int main() {
scanf("%d",&n);
pre[1] = 0;
for(int i=2; i <= n; i++)
scanf("%d",&pre[i]);
for(int i=1; i <= n; i++)
{
tree[i] = lowbit(i);
}
for(int i = n; i > 0; i--)
{
int x = findpos(pre[i] + 1);
add(x, -1); //更新tree数组。
ans[i] = x;
}
for(int i=1; i <= n; i++)
printf("%d\\n", ans[i]);
return 0;
}
附一张可能没什么用的运行过程图片
以上是关于学习笔记-树状数组(21.8.11)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章