平衡二叉树的定义及基本操作（查找插入删除）及代码实现

Posted 2021-09-05 薛定谔的猫ovo

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了平衡二叉树的定义及基本操作（查找插入删除）及代码实现相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

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平衡二叉树的定义

为了避免树的高度增长过快，降低二叉排序树的性能，我们规定在插入和删除二叉树结点时，要保证在任意结点的左、右子树高度差的绝对值不超过1，将这样的树称为平衡二叉树（Balanced Binary Tree），简称平衡树（AVL）。此外，AVL树又称为高度平衡的二叉查找树。
定义结点左子树与右子树的高度差为该结点的平衡因子，则平衡二叉树结点的平衡因子的值只可能是-1，0或1 。

平衡二叉树可定义为：
或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的高度差的绝对值不超过1。

平衡二叉树的结点类型描述：

typedef struct AVLNode{
    int data; //数据域
    int bf; //平衡因子
    struct AVLNode *lchild, *rchild; //指针域
}AVLNode, *AVLTree;

平衡二叉树的查找

平衡二叉树上进行查找的过程与二叉排序树相同，详细完整代码请参照二叉排序树的定义及基本操作（构造、查找、插入、删除）递归及非递归算法。因此，在查找过程中，与给定值进行比较的关键字个数不超过树的深度。
可以证明，含有n个结点的平衡二叉树的最大深度为O(log₂n)，因此平衡二叉树的平均查找长度为O(log₂n)。

平衡二叉树的平衡旋转

二叉排序树保证平衡的基本思想如下：
每当在二叉排序树中插入（或删除）一个结点时，首先检查其插入路径上的结点是否因为此次操作导致了不平衡。若导致了不平衡，则先找到插入路径上离插入结点最近的平衡因子的绝对值大于1的结点A，再对以A为根的子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整各结点的位置关系，使之重新达到平衡。

一般可将失去平衡后进行调整的规律归纳为下列四种情况：LL平衡旋转，RR平衡旋转，LR平衡旋转，RL平衡旋转。

LL平衡旋转（右单旋转）

由于在结点A的左孩子（L）的左子树（L）上插入了新结点，A的平衡因子由1增至2，导致了以A为根的子树失去平衡。
需要一次向右的旋转操作：将A的左孩子B向右上旋转代替A成为根结点，将A结点向右下旋转成为B的右子树的根结点，而B的原右子树则作为A结点的左子树。
如下图所示，结点旁的数值代表结点的平衡因子，方块表示相应结点的子树，方块下的数值代表该子树的高度，以下相同，不再赘述。

实现代码：

void Rotate_LL(AVLNode *&p){
    AVLNode *s = p;  //要右旋转的结点
    p = s->lchild;
    s->lchild = p->rchild; //卸掉p右边的负载
    p->rchild = s; //右单旋, p成为新根
    p->bf = 0;
    s->bf = 0;
}

RR平衡旋转（左单旋转）

由于在结点A的右孩子（R）的右子树（R）上插入了新结点，A的平衡因子由-1减至-2，导致以A为根的子树失去平衡。
需要一次向左的旋转操作：将A的右孩子B向左上旋转代替A成为根结点，将A结点向左下旋转成为B的左子树的根结点，而B的原左子树作为A结点的右子树。如下图所示：

实现代码：

void Rotate_RR(AVLNode *&p){
    AVLNode *s = p;  //要左旋转的结点
    p = s->rchild;  //卸掉p左边的负载
    s->rchild = p->lchild;  
    p->lchild = s;  //左单旋, p成为新根
    p->bf = 0;
    s->bf = 0;
}

LR平衡旋转（先左后右双旋转）

由于在A的左孩子（L）的右子树（R）上插入新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡。
需要进行两次旋转操作：先左旋转后右旋转。先将A结点的左孩子B的右子树的根结点C向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该C结点向右上旋转提升到A结点的位置。如下图所示：
【注意】LR和RL旋转时，新结点究竟是插入C的左子树还是插入C的右子树均不影响旋转过程，在下面的图中以插入C的左子树中为例。

实现代码：

void Rotate_LR(AVLNode *&p){
    AVLNode *sr = p, *sl = sr->lchild;
    p = sr->rchild;  //p成为新根
    sl->rchild = p->lchild;  //卸掉p左边的负载
    p->lchild = sl;
    sr->lchild = p->rchild;  //卸掉p右边的负载
    p->rchild = sr;
    
    if(p->bf == 1){  //原p左子树高
        sl->bf = 0;
        sr->bf = -1;
    }else if(p->bf == -1){  //原p右子树高
        sl->bf = 1;
        sr->bf = 0;
    }else{  //原p两子树同高
        sl->bf = 0;
        sr->bf = 0;
    }
    p->bf = 0;
}

RL平衡旋转（先右后左双旋转）

由于在A的右孩子（R）的左子树（L）上插入新结点，A的平衡因子由-1减至-2，导致以A为根的子树失去平衡。
需要进行两次旋转操作：先右旋转后左旋转。先将A结点的右孩子B的左子树的根结点C向右上旋转提升到B结点的位置，然后再把该C结点向左上旋转提升到A结点的位置。如下图所示：

实现代码：

void Rotate_RL(AVLNode *&p){
    AVLNode *sl = p, *sr = p->rchild;  //p成为新根
    p = sr->lchild;
    sr->lchild = p->rchild;  //卸掉p右边的负载
    p->rchild = sr;
    sl->rchild = p->lchild;  //卸掉p左边的负载
    p->lchild = sl;
    
    if(p->bf == 1){  //原p左子树高
        sl->bf = 0;
        sr->bf = -1;
    }else if(p->bf == -1){  //原p右子树高
        sl->bf = 1;
        sr->bf = 0;
    }else{  //原p两子树同高
        sl->bf = 0;
        sr->bf = 0;
    }
    p->bf = 0;
}

平衡二叉树的插入

平衡二叉树的插入过程前半部分与二叉排序树相同，但是在新结点插入后，若造成查找路径上的某个结点不再平衡，则需要做出相应的调整。
在新结点作为叶结点插入后，必须从插入位置沿到根结点的路径回溯，检查在此路径上的结点是否变得不平衡。若是，则找出其中的最小不平衡子树，在保持二叉查找树特性的情况下，调整最小不平衡子树中结点之间的关系，使之达到新的平衡；否则，本次插入结束。
所谓最小不平衡子树，是指插入后在所有失去平衡性的结点中，以离插入结点最近的结点作为根的那棵子树，这个根结点一定处于在查找插入位置时所经过的路径上。
然后，在找到的最小不平衡子树上识别平衡旋转类型（LL、RR、LR、RL），做完平衡旋转后，本次插入即可结束。