[b,a] = butter(n,Wn)可以设计截止频率为Wn的n阶低通butterworth滤波器，其中截止频率Wn应满足0<=Wn<=1，Wn=1相当于0.5fs（采样频率）。当Wn = [W1 W2]时，butter函数产生一个2n阶的数字带通滤波器，其通带为W1 < W < W2。
[b,a] = butter(n,Wn,'ftype')可以设计高通或带阻滤波器。当ftype=high时，可设计截止频率为Wn的高通滤波器；当ftype=stop时，可设计带阻滤波器，此时Wn = [W1 W2]，阻带为W1 < W < W2。

使用butter函数设计滤波器，可以使通带内的幅度响应最大地平坦，但会损失截止频率处的下降斜度。因此，butter函数主要用于设计通带平坦的数字滤波器。

43.1.2 buttord函数

功能：用来选择Butterworth滤波器的阶数。

语法：[n, Wn] = buttord（WP, WS, RP, Rs）；

说明：buttord函数可以在给定滤波器性能的情况下，选择Butterworth数字滤波器的最小阶数，其中WP和WS分别是通带和阻带的截止频率，其值为0<=Wp（或Ws）<=1，当该值为1时表示0.5fs（采样率）。RP和 Rs分别是通带和阻带区的波纹系数和衰减系数。

[n, Wn] = buttord（WP, WS, RP, Rs）可以得到高通、带通和带阻滤波器的最小阶数n。

当WP>WS时，为高通滤波器；当WP, WS为二元矢量时，若WP<WS，则为带通和带阻滤波器，此时Wn也为二元矢量。

利用buttord函数可得到Butterworth数字滤波器的最小阶数n，并使通带（0，WP）内的波纹系数小于RP,阻带（WS, 1）内衰减系数大于Rs。buttord函数还可以得到截止频率Wn，再利用butter函数可产生满足指定性能的滤波器。

使用butter函数设计数字滤波器，可以使通带内的幅度响应最大限度地平坦，但在截止频率附件幅度响应衰减慢。如果期望幅度响应下降斜度大，衰减快，可使用Elliptic(椭圆)或Chebyshev（切比雪夫）滤波器。

43.1.3 巴特沃斯低通滤波器设计

下面我们通过一个实例来讲解巴特沃斯低通滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将200Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数butter设计一组低通滤波器系数，其阶数是2，截止频率为0.25（也就是125Hz），采样率1Kbps。Matlab运行代码如下：

fs=1000;               %设置采样频率 1k
N=1024;               %采样点数
n=0:N-1;
t=0:1/fs:1-1/fs;         %时间序列         
f=n*fs/N;              %频率序列

x1=sin(2*pi*50*t);      %信号
x2=sin(2*pi*200*t);     %噪声
x=x1+x2;               %信号混合

subplot(221);
plot(t,x);               %绘制原始信号
xlabel('时间');
ylabel('幅值');
title('原始信号');
grid on;

subplot(222);
y=fft(x,N);             %绘制原始信号的幅频响应
plot(f,abs(y));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('原始信号FFT');
grid on;

subplot(223);             
Wc=2*125/fs;           %设置截止频率125Hz                 
[b,a]=butter(2,Wc);   %获取2阶IIR滤波系数
% y2=filter(b,a,x);
y2=filtfilt(b,a,x);      %计算滤波后的波形y2
y3=fft(y2,N);         %滤波后波形的幅频响应
plot(f,abs(y3));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('滤波后信号FFT');
grid on;

[H,F]=freqz(b,a,512);
subplot(224);
plot(F/pi,abs(H));
xlabel('归一化频率');        %绘制绝对幅频响应
ylabel('幅度');
Ps=sum(x1.^2);            %信号的总功率
Pu=sum((y2-x1).^2);       %剩余噪声的功率
SNR=10*log10(Ps/Pu);     %信噪比
title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]);
grid on;

运算Malab结果如下：

从滤波的效果来看，2阶的IIR滤波器能够达到将近20的信噪比，比使用FIR需要更少的阶数。

43.1.4 巴特沃斯高通滤波器设计

下面我们通过一个实例来讲解巴特沃斯高通滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将50Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数butter设计一组高通滤波器系数，其阶数是2，截止频率为0.25（也就是125Hz），采样率1Kbps。Matlab运行代码如下：

fs=1000;               %设置采样频率 1k
N=1024;               %采样点数
n=0:N-1;
t=0:1/fs:1-1/fs;         %时间序列         
f=n*fs/N;              %频率序列

x1=sin(2*pi*50*t);      %噪声
x2=sin(2*pi*200*t);     %信号
x=x1+x2;              %信号混合

subplot(221);
plot(t,x);               %绘制原始信号
xlabel('时间');
ylabel('幅值');
title('原始信号');
grid on;

subplot(222);
y=fft(x,N);             %绘制原始信号的幅频响应
plot(f,abs(y));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('原始信号FFT');
grid on;

subplot(223);             
Wc=2*125/fs;              %设置截止频率125Hz                 
[b,a]=butter(2,Wc, 'high');   %获取2阶IIR滤波系数
% y2=filter(b,a,x);
y2=filtfilt(b,a,x);      %计算滤波后的波形y2
y3=fft(y2,N);         %滤波后波形的幅频响应
plot(f,abs(y3));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('滤波后信号FFT');
grid on;

[H,F]=freqz(b,a,512);
subplot(224);
plot(F/pi,abs(H));
xlabel('归一化频率');       %绘制绝对幅频响应
ylabel('幅度');
Ps=sum(x2.^2);           %信号的总功率
Pu=sum((y2-x2).^2);       %剩余噪声的功率
SNR=10*log10(Ps/Pu);     %信噪比
title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]);
grid on;

Matlab运行结果如下：

从滤波的效果来看，2阶的IIR滤波器效果还是比较好的。

43.1.5 巴特沃斯带通滤波器设计

下面我们通过一个实例来讲解巴特沃斯带通滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将50Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数butter设计一组带通滤波器系数，其阶数是2，通带为125Hz到300Hz，采样率1Kbps。Matlab运行代码如下：

fs=1000;               %设置采样频率 1k
N=1024;               %采样点数
n=0:N-1;
t=0:1/fs:1-1/fs;         %时间序列         
f=n*fs/N;              %频率序列

x1=sin(2*pi*50*t);      %噪声
x2=sin(2*pi*200*t);     %信号
x=x1+x2;              %信号混合

subplot(221);
plot(t,x);               %绘制原始信号
xlabel('时间');
ylabel('幅值');
title('原始信号');
grid on;

subplot(222);
y=fft(x,N);             %绘制原始信号的幅频响应
plot(f,abs(y));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('原始信号FFT');
grid on;

subplot(223);             
Wn=[125*2 300*2]/fs;  %设置通带125Hz到300Hz                 
[b,a]=butter(1,Wn);     %注意第一个参数虽然是1，但生成的却是2阶IIR滤波器系数
% y2=filter(b,a,x);
y2=filtfilt(b,a,x);      %计算滤波后的波形y2
y3=fft(y2,N);         %滤波后波形的幅频响应
plot(f,abs(y3));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('滤波后信号FFT');
grid on;

[H,F]=freqz(b,a,512);
subplot(224);
plot(F/pi,abs(H));
xlabel('归一化频率');        %绘制绝对幅频响应
ylabel('幅度');
Ps=sum(x2.^2);            %信号的总功率
Pu=sum((y2-x2).^2);        %剩余噪声的功率
SNR=10*log10(Ps/Pu);   %信噪比
title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]);
grid on;

Matlab的计算结果如下：

从滤波的效果来看，2阶的IIR滤波器效果还是比较好的。

43.1.6 巴特沃斯带阻滤波器设计

下面我们通过一个实例来讲解巴特沃斯带阻滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将200Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数butter设计一组带阻滤波器系数，其阶数是2，阻带为125Hz到300Hz，采样率1Kbps。Matlab运行代码如下：

fs=1000;              %设置采样频率 1k
N=1024;              %采样点数
n=0:N-1;
t=0:1/fs:1-1/fs;        %时间序列         
f=n*fs/N;             %频率序列

x1=sin(2*pi*50*t);      %信号
x2=sin(2*pi*200*t);     %噪声
x=x1+x2;             %信号混合

subplot(221);
plot(t,x);               %绘制原始信号
xlabel('时间');
ylabel('幅值');
title('原始信号');
grid on;

subplot(222);
y=fft(x,N);             %绘制原始信号的幅频响应
plot(f,abs(y));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('原始信号FFT');
grid on;

subplot(223);             
Wn=[125*2 300*2]/fs;       %设置阻带125Hz到300Hz                 
[b,a]=butter(1,Wn, 'stop');   %注意第一个参数虽然是1，但生成的却是2阶IIR滤波器系数
% y2=filter(b,a,x);
y2=filtfilt(b,a,x);      %计算滤波后的波形y2
y3=fft(y2,N);         %滤波后波形的幅频响应
plot(f,abs(y3));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('滤波后信号FFT');
grid on;

[H,F]=freqz(b,a,512);
subplot(224);
plot(F/pi,abs(H));
xlabel('归一化频率');        %绘制绝对幅频响应
ylabel('幅度');
Ps=sum(x1.^2);         %信号的总功率
Pu=sum((y2-x1).^2);     %剩余噪声的功率
SNR=10*log10(Ps/Pu);   %信噪比
title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]);
grid on;

Maltab运行结果如下：

从滤波的效果来看，2阶的IIR滤波器效果还是比较好的。

43.2 切比雪夫滤波器的设计

切比雪夫（Chebyshev）滤波器分为Chebyshev I型和Chebyshev II型，分别具有通带等纹波和阻带等纹波性能。

43.2.1 cheby1函数

功能：用来设计Chebyshev（切比雪夫）I型滤波器（通带等纹波）。

语法：[b,a] = cheby1(n, Rp, Wn);

[b,a] = cheby1(n, Rp, Wn, 'ftype');

说明：cheby1函数可以设计低通，带通，高通和带阻Chebyshev I型数字滤波器，其通带内为等纹波，阻带内为单调。Chebyshev I型滤波器的下降斜度比Chebyshev II型大，但其代价是在通带内纹波较大。

[b,a] = cheby1(n, Rp, Wn);可以设计n阶低通Chebyshev I型数字滤波器，其中RP用来确定通带内的纹波，Wn为改滤波器的截止频率。

当Wn=[W1, W2]时，cheby1函数可产生一个2n的数字带通滤波器，其通带为W1<W<W2。

[b,a] = cheby1(n, Rp, Wn, 'ftype');可用来设计n阶高通或带阻滤波器，其中Rp和Wn同上，ftype的定义与butter相同。

43.2.2 cheby1ord函数

功能：用来选择Chebyshev I型滤波器的阶数。

语法：[n, Wn] = cheb1ord（WP, WS, RP, Rs）;

说明：cheb1ord函数可以在给定滤波器性能的情况下，选择Chebyshev I型数字滤波器的最小阶数，其中Wp和Ws分别是通带和阻带的截止频率，其值为0<=Wp（或Ws）<=1。Rp和Rs分别是通带和阻带区的波纹系数。

[n, Wn] = cheb1ord（WP, WS, RP, Rs）;可以得到低通、高通、带通和带阻滤波器的最小阶数。

利用cheblord函数，除了可以得到Chebyshev I型数字滤波器的最小阶数n外，还可以得到截止频率Wn，再利用cheby1函数可产生满足指定性能的滤波器，使滤波器通带(0, Wp)内的纹波系数小于Rp，阻带(WS, 1)内衰减系数大于RS

43.2.3 cheby2函数

功能：用来设计Chebyshev（切比雪夫）I型滤波器（通带等纹波）。

语法：[b,a] = cheby1(n, Rp, Wn);

[b,a] = cheby1(n, Rp, Wn, 'ftype');

说明：cheby2函数与cheby1函数基本相同，只是用cheby2函数所设计的滤波器，其通带内为单调的，阻带内为等波纹，由RS指定阻带内的波纹。

cheby2函数可以设计低通，带通，高通和带阻Chebyshev II型数字滤波器。

43.2.4 cheby2ord函数

功能：用来选择Chebyshev II型滤波器的阶数。

语法：[n, Wn] = cheb2ord（WP, WS, RP, Rs）;

说明：cheb2ord函数与cheb2函数类似，可以利用该函数确定Chebyshev II型数字滤波器的最小阶数n和截止频率Wn。

cheb2ord函数和cheb2函数配合使用，可设计出最低阶数的Chebyshev II型数字滤波器。

43.2.5 切比雪夫I型低通滤波器设计

下面我们通过一个实例来讲解切比雪夫I型低通滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将200Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数cheby1设计一组低通滤波器系数，其阶数是4，截止频率为0.25（也就是125Hz），采样率1Kbps，通带波纹1db。Matlab运行代码如下：

fs=1000;               %设置采样频率 1k
N=1024;               %采样点数
n=0:N-1;
t=0:1/fs:1-1/fs;         %时间序列         
f=n*fs/N;              %频率序列

x1=sin(2*pi*50*t);      %信号
x2=sin(2*pi*200*t);     %噪声
x=x1+x2;              %信号混合

subplot(221);
plot(t,x);                %绘制原始信号
xlabel('时间');
ylabel('幅值');
title('原始信号');
grid on;

subplot(222);
y=fft(x,N);             %绘制原始信号的幅频响应
plot(f,abs(y));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('原始信号FFT');
grid on;

subplot(223);             
Wc=2*125/fs;            %设置截止频率125Hz                 
[b,a]=cheby1(4, 3, Wc);   %获取2阶IIR滤波系数
% y2=filter(b,a,x);
y2=filtfilt(b,a,x);      %计算滤波后的波形y2
y3=fft(y2,N);           %滤波后波形的幅频响应
plot(f,abs(y3));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('滤波后信号FFT');
grid on;

[H,F]=freqz(b,a,512);
subplot(224);
plot(F/pi,abs(H));
xlabel('归一化频率');        %绘制绝对幅频响应
ylabel('幅度');
Ps=sum(x1.^2);            %信号的总功率
Pu=sum((y2-x1).^2);       %剩余噪声的功率
SNR=10*log10(Ps/Pu);     %信噪比
title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]);
grid on;

Matlab计算结果如下：

从滤波的效果来看，4阶的切比雪夫I型滤波效果还是比较好的。

43.2.6 切比雪夫I型高通滤波器设计

下面我们通过一个实例来讲解切比雪夫I型高通滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将50Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数cheby1设计一组高通滤波器系数，其阶数是2，截止频率为0.25（也就是125Hz），采样率1Kbps，通带波纹1db。Matlab运行代码如下：

fs=1000;           %设置采样频率 1k
N=1024;           %采样点数
n=0:N-1;
t=0:1/fs:1-1/fs;     %时间序列         
f=n*fs/N;          %频率序列

x1=sin(2*pi*50*t);      %噪声
x2=sin(2*pi*200*t);     %信号
x=x1+x2;              %信号混合

subplot(221);
plot(t,x);               %绘制原始信号
xlabel('时间');
ylabel('幅值');
title('原始信号');
grid on;

subplot(222);
y=fft(x,N);             %绘制原始信号的幅频响应
plot(f,abs(y));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('原始信号FFT');
grid on;

subplot(223);             
Wc=2*125/fs;              %设置截止频率125Hz                 
[b,a]=cheby1(2, 1, Wc, 'high');  %获取2阶IIR滤波系数
% y2=filter(b,a,x);
y2=filtfilt(b,a,x);      %计算滤波后的波形y2
y3=fft(y2,N);         %滤波后波形的幅频响应
plot(f,abs(y3));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('滤波后信号FFT');
grid on;

[H,F]=freqz(b,a,512);
subplot(224);
plot(F/pi,abs(H));
xlabel('归一化频率');       %绘制绝对幅频响应
ylabel('幅度');
Ps=sum(x2.^2);           %信号的总功率
Pu=sum((y2-x2).^2);       %剩余噪声的功率
SNR=10*log10(Ps/Pu);     %信噪比
title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]);
grid on;

Matlab运行结果如下：

43.2.7 切比雪夫I型带通滤波器设计

下面我们通过一个实例来讲解切比雪夫I型带通滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将50Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数cheby1设计一组带通滤波器系数，其阶数是2，通带为125Hz到300Hz，采样率1Kbps，通带纹波1db。Matlab运行代码如下：

fs=1000;               %设置采样频率 1k
N=1024;               %采样点数
n=0:N-1;
t=0:1/fs:1-1/fs;         %时间序列         
f=n*fs/N;              %频率序列

x1=sin(2*pi*50*t);      %噪声
x2=sin(2*pi*200*t);     %信号
x=x1+x2;              %信号混合

subplot(221);
plot(t,x);               %绘制原始信号
xlabel('时间');
ylabel('幅值');
title('原始信号');
grid on;

subplot(222);
y=fft(x,N);             %绘制原始信号的幅频响应
plot(f,abs(y));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('原始信号FFT');
grid on;

subplot(223);             
Wn=[125*2 300*2]/fs;  %设置通带125Hz到300Hz                 
[b,a]=cheby1(1,1,Wn);  %注意第一个参数虽然是1，但生成的却是2阶IIR滤波器系数
% y2=filter(b,a,x);
y2=filtfilt(b,a,x);      %计算滤波后的波形y2
y3=fft(y2,N);         %滤波后波形的幅频响应
plot(f,abs(y3));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('滤波后信号FFT');
grid on;

[H,F]=freqz(b,a,512);
subplot(224);
plot(F/pi,abs(H));
xlabel('归一化频率');      %绘制绝对幅频响应
ylabel('幅度');
Ps=sum(x2.^2);          %信号的总功率
Pu=sum((y2-x2).^2);     %剩余噪声的功率
SNR=10*log10(Ps/Pu);   %信噪比
title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]);
grid on;

Matlab的计算结果如下：

从滤波的效果来看，2阶的带通滤波器效果不够好，出现这种情况的时候，需要大家去重新的调节截止频率，滤波器阶数和通带波纹。

43.2.8 切比雪夫I型带阻滤波器设计

下面我们通过一个实例来讲解切比雪夫I型带阻滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将200Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数cheby1设计一组带阻滤波器系数，其阶数是2，阻带为125Hz到300Hz，采样率1Kbps，通带波纹1db。Matlab运行代码如下：

fs=1000;              %设置采样频率 1k
N=1024;              %采样点数
n=0:N-1;
t=0:1/fs:1-1/fs;        %时间序列         
f=n*fs/N;             %频率序列

x1=sin(2*pi*50*t);      %信号
x2=sin(2*pi*200*t);     %噪声
x=x1+x2;             %信号混合

subplot(221);
plot(t,x);               %绘制原始信号
xlabel('时间');
ylabel('幅值');
title('原始信号');
grid on;

subplot(222);
y=fft(x,N);             %绘制原始信号的幅频响应
plot(f,abs(y));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('原始信号FFT');
grid on;

subplot(223);             
Wn=[125*2 300*2]/fs;       %设置阻带125Hz到300Hz                 
[b,a]=cheby1(1,1,Wn, 'stop'); %注意第一个参数虽然是1，但生成的却是2阶IIR滤波器系数
% y2=filter(b,a,x);
y2=filtfilt(b,a,x);      %计算滤波后的波形y2
y3=fft(y2,N);         %滤波后波形的幅频响应
plot(f,abs(y3));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('滤波后信号FFT');
grid on;

[H,F]=freqz(b,a,512);
subplot(224);
plot(F/pi,abs(H));
xlabel('归一化频率');        %绘制绝对幅频响应
ylabel('幅度');
Ps=sum(x1.^2);         %信号的总功率
Pu=sum((y2-x1).^2);     %剩余噪声的功率
SNR=10*log10(Ps/Pu);   %信噪比
title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]);
grid on;

Matlab计算结果如下：