poj 3280 Cheapest Palindrome （回文子序列，区间dp）

Posted 2021-09-05 jpphy0

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问题

poj 3280 Cheapest Palindrome - http://poj.org/problem?id=3280

分析

• 回文子序列：由两侧向中间构造
  • 先比较两侧的字符是否相同，若相同则同时向中间移动首尾指针
  • 若不同，则分移动左指针 和 移动右指针两种情况处理
• 例：使用添加字符的方式将字符串 $abcda$ 构造成回文字符串
  • 第一步：比较首尾字符，相同，所以移动首尾指针，此时首尾指针指向的区间为：$bcd【a|bcd|a】$
  • 第二步：比较首尾，不同，因此有两种情况，
    1. 在尾部添加字符b，然后移动左指针，此时首尾指针指向的区间为：$cd【ab|cd|ba】$
    2. 在首部添加字符d，然后移动右指针，此时首尾指针指向的区间为：$bc【ad|bc|da】$
  • 依次类推，直到首尾指针交错或指向同一个字符
• 贪心策略：当首尾字符一致时，一定要同时移动首尾指针吗？同时移动不会比其它两种方式差，故是最优的
• 对于同一个字符，在添加与删除操作中，选择代价小的方式

for(int i = 1; i <= N; ++i){
	scanf("%c%c%d%d", &ch, &ch, c, c+1);
	c[ch] = min(c[0], c[1]); // 选择代价较小的方式
}

• 状态转移方程：$$dp[l][r]=\{\begin{array}{ll}dp[l+1][r-1],& s[l]=s[r]\\ min(dp[l-1][r]+c[s[l]]，dp[l][r-1]+c[s[r]]),& s[l]\ne s[r]\end{array}$$

代码

/* poj 3280 Cheapest Palindrome 最长回子序列 区间dp*/
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std;
const int MXN = 256;
const int MXM = 2010;
const int inf = 0x7f7f7f7f;
#define LL long long
int N, M, c[MXN], dp[MXM][MXM];
char s[MXM];
int dfs(int l, int r){
    int &D = dp[l][r];
    if(D < inf) return D;
    if(l >= r) return D = 0;
    if(s[l] == s[r]) D = dfs(l+1,r-1);
    else D = min(dfs(l+1, r)+c[s[l]], dfs(l, r-1)+c[s[r]]);
    return D;
}
int main(){
    char ch;
    while(scanf("%d%d", &N, &M) == 2){
        memset(dp, 0x7f, sizeof dp);
        scanf("%s", s+1);
        for(int i = 1; i <= N; ++i){
            scanf("%c%c%d%d", &ch, &ch, c, c+1);
            c[ch] = min(c[0], c[1]);
        }
        printf("%d\\n", dfs(1, M));
    }    
    return 0;
}