[TensorFlow系列-12]：TensorFlow基础 - 张量线性运算（点乘叉乘）

Posted 2021-09-05 文火冰糖的硅基工坊

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第1章 Tensor运算概述

1.1 概述

1.3 “in place“运算：不支持

1.4 Tensor的广播机制: 不同维度的张量运算

1.5 环境准备

1.6 张量的线性代数运算

第2章向量的点乘：tf.multiply(x, y）

4.3 代码示例： Tensorflow不支持

第5章矩阵的内积运算(对应)：inner() -- 不支持

5.1 矩阵内积的定义

5.2 代码示例 - 不支持

第6章矩阵的外积/叉乘运算: tf.matmul(x, y）

6.1 矩阵外积（矩阵乘积）的定义（矩阵相乘）

6.2代码示例

第1章 Tensor运算概述

https://tensorflow.google.cn/api_docs/python/tf

1.1 概述

TensorFlow提供了大量的张量运算，基本上可以对标Numpy多维数组的运算，以支持对张量的各种复杂的运算。

这些操作运算中大多是对数组中每个元素执行相同的函数运算，并获得每个元素函数运算的结果序列，这些序列生成一个新的同维度的数组。

1.2 运算分类

（1）算术运算：加、减、系数乘、系数除

（2）函数运算：sin，cos

（3）取整运算：上取整、下取整

（4）统计运算：最大值、最小值、均值

（5）比较运算：大于，等于，小于、排序

（6）线性代数运算：矩阵、点乘、叉乘

1.3 “in place“运算：不支持

1.4 Tensor的广播机制: 不同维度的张量运算

1.5 环境准备

#环境准备
import numpy as np
import tensorflow as tf
print("hello world")
print("tensorflow version:", tf.__version__)

1.6 张量的线性代数运算

（1）点乘：multiply(a,b）=》张量

（2）内积: inner(a,b) =》标量 # tensorflow不支持

（3）叉乘：matmul(a,b) =》张量

备注：在矩阵的各种运算中，Tensorflow比Pytorch的函数库要少很多。

第2章向量的点乘：tf.multiply(x, y）

向量的点乘定义：按位相乘，不相加

# 代码示例

#向量的点乘（点积）运算: 对应元素相乘
print("向量：")
a = tf.constant([1,2,3])
b = tf.constant([1,2,1])
print(a)
print(b)

print("\\n点乘")
c= tf.multiply(a,b) #对应元素相乘
print(c)

向量：
tf.Tensor([1 2 3], shape=(3,), dtype=int32)
tf.Tensor([1 2 1], shape=(3,), dtype=int32)

点乘
tf.Tensor([1 4 3], shape=(3,), dtype=int32)

第3章向量的内积(是基础)：不支持

3.1 定义

概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。

对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b：

注意：

这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。
点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

3.2 向量内积的几何意义

（1）可用于计算计算两个向量之间的夹角.

θ=arccos⁡(a∙b/|a||b|)

（2）b向量在a向量方向上的投影与a相乘

|a| = 所有元素的平方和开根号，实际上就是向量a的长度。

|b| = 所有元素的平方和开根号，实际上就是向量b的长度。

a.b = a1*b1 + a2*b2 ..... an*bn

（3）是否正交指示：

如果点乘的结果为0，则表示a在b上的投影为0，表示a和b是正交的。

如果正交，表示这两个向量不相干。

3.3 代码示例 -- 不支持

第4章向量的叉乘 -- 不支持

4.1 定义

两个向量的外积，又叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是一个向量而不是一个标量。

并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

定义：向量a与b的外积a×b是一个向量，其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其方向正交于a与b。并且，(a,b,a×b)构成右手系。
特别地，0×a = a×0 = 0.此外，对任意向量a，自身相乘a×a=0。

对于向量a和向量b：

a和b的外积公式为（得到的是原先维度的向量）：

4.2 几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，外积的概念非常有用，可以通过两个向量的外积，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

4.3 代码示例： Tensorflow不支持

第5章矩阵的内积运算(对应)：inner() -- 不支持

5.1 矩阵内积的定义

两个相同维度的矩阵a和b，a和b矩阵的内积时相同位置的向量的内积。

（1）向量向量内积

（2）向量矩阵的内积：

5.2 代码示例 - 不支持

第6章矩阵的外积/叉乘运算: tf.matmul(x, y）

6.1 矩阵外积（矩阵乘积）的定义（矩阵相乘）

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义。

（1）向量的乘积

（2）矩阵的乘积

6.2代码示例

# 代码示例：

# 矩阵的外积、叉乘：交叉相乘
print("矩阵：1*3")
a = tf.constant([[1,2,3]])  # 相当于1* N
print(a)

print("矩阵：3*1")
b = tf.constant([[0],[1],[0]]) # 相当于N * 1
print(b)

print("叉乘: 1*1")
c = tf.matmul(a,b)  # 等价于 1*0+2*1+3*0
print(c)

print("\\n矩阵：2*3")
a = tf.constant([[1,2,3], [4,5,6]])
print(a)
print("\\n矩阵：3*2")
b = tf.constant([[0,1], [1,1], [1,1]])
print(b)
print("叉乘: 2*2")
c = tf.matmul(a,b) # X * N VS N * Y => X * Y
print(c)

输出：

矩阵：1*3
tf.Tensor([[1 2 3]], shape=(1, 3), dtype=int32)
矩阵：3*1
tf.Tensor(
[[0]
 [1]
 [0]], shape=(3, 1), dtype=int32)
叉乘: 1*1
tf.Tensor([[2]], shape=(1, 1), dtype=int32)

矩阵：2*3
tf.Tensor(
[[1 2 3]
 [4 5 6]], shape=(2, 3), dtype=int32)

矩阵：3*2
tf.Tensor(
[[0 1]
 [1 1]
 [1 1]], shape=(3, 2), dtype=int32)
叉乘: 2*2
tf.Tensor(
[[ 5  6]
 [11 15]], shape=(2, 2), dtype=int32)

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